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筛选法的C++实现

时间:2021-01-08 12:27     来源/作者:C++教程网

筛选法

介绍:
筛选法又称筛法,是求不超过自然数N(N>1)的所有质数的一种方法。据说是古希腊的埃拉托斯特尼(Eratosthenes,约公元前274~194年)发明的,又称埃拉托斯特尼筛子。

具体做法是:先把N个自然数按次序排列起来。1不是质数,也不是合数,要划去。第二个数2是质数留下来,而把2后面所有能被2整除的数都划去。2后面第一个没划去的数是3,把3留下,再把3后面所有能被3整除的数都划去。3后面第一个没划去的数是5,把5留下,再把5后面所有能被5整除的数都划去。这样一直做下去,就会把不超过N的全部合数都筛掉,留下的就是不超过N的全部质数。因为希腊人是把数写在涂腊的板上,每要划去一个数,就在上面记以小点,寻求质数的工作完毕后,这许多小点就像一个筛子,所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”,简称“筛法”。(另一种解释是当时的数写在纸草上,每要划去一个数,就把这个数挖去,寻求质数的工作完毕后,这许多小洞就像一个筛子。)

用C++实现筛选法:
以通过筛选法求100以内的素数为例

复制代码 代码如下:

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
 int i,j,a[101];//这里定义101大小的数组,是为了和自然数相对应,即:a[2]对应自然数2
 for(i=2;i<100;i++)
     a[i]=1;//完成对数组的初始化操作
 for(i=2;i<100;i++){
  for(j=2*i;j<100;j+=i){
   a[j]=0;//对相应的倍数进行排除
  }
 }
 //执行输出操作
 for(i=2;i<100;i++){
  if(a[i])
  cout<<i<<'\t';
 }
 cout<<endl;
 return 0;
}


一些思考和优化
以前学习计算素数的算法的时候,有一个比较普遍的优化的算法。

 

也就是用

复制代码 代码如下:

for(i=1;i<(j/2);i++)


或者

复制代码 代码如下:

for(i=1;i<sqrt(j);i++)//使用sqrt()函数需要引入math.h这个头文件


来替代

复制代码 代码如下:

for(i=1;i<j;i++)


可以显著的降低算法的复杂度

 

一开始直接使用,不知道是什么原理。后来看了看,原来原理是这样的:

以sqrt(j)代替i为例

求素数最基本的方法,是用i去除以2到j-1之间的所有的整数,如果有可以整除的情况,则不是素数;如果都不可以整除,则是素数。

而i=sqrt(j)*sqrt(j)

我们用i去除以2到sqrt(j)之间的所有的整数,这就可以覆盖2到i-1之间的所有的整数。

设2<k<sqrt(j),则若j%k==0,则sqrt(j)<m=(j%k)<j-1。

也就是说,因为是除法运算求整除的运算,所以除以小的可以整除,可就是除以相应的大的可以整除。

优化之后的代码:

复制代码 代码如下:

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int main()
{
 int i,j,a[101];//这里定义101大小的数组,是为了和自然数相对应,即:a[2]对应自然数2
 for(i=2;i<100;i++)
     a[i]=1;//完成对数组的初始化操作
 for(i=2;i<sqrt(100);i++){
  for(j=2*i;j<100;j+=i){
   a[j]=0;//对相应的倍数进行排除
  }
 }
 //执行输出操作
 for(i=2;i<100;i++){
  if(a[i])
  cout<<i<<'\t';
 }
 cout<<endl;
 return 0;
}
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