Simple Genetic Alogrithm是模拟生物进化过程而提出的一种优化算法。SGA采用随机导向搜索全局最优解或者说近似全局最优解。传统的爬山算法(例如梯度下降，牛顿法)一次只优化一个解，并且对于多峰的目标函数很容易陷入局部最优解，而SGA算法一次优化一个种群(即一次优化多个解)，SGA比传统的爬山算法更容易收敛到全局最优解或者近似全局最优解。
SGA基本流程如下:
1、对问题的解进行二进制编码。编码涉及精度的问题，在本例中精度delta=0.0001,根据决策变量的上下界确定对应此决策变量的染色体基因的长度（m）。假设一个决策变量x0上界为upper,下界为lower,则精度delta = (upper-lower)/2^m-1。如果已知决策变量边界和编码精度，那么可以用下面的公式确定编码决策变量x0所对应的染色体长度：
2^(length-1)<(upper-lower)/delta<=2^length-1
2、对染色体解码得到表现形:
解码后得到10进制的值；decoded = lower + binary2demical(chromosome)*delta。其中binary2demical为二进制转10进制的函数，在代码中有实现，chromosome是编码后的染色体。
3、确定初始种群,初始种群随机生成
4、根据解码函数得到初始种群的10进制表现型的值
5、确定适应度函数，对于求最大值最小值问题，一般适应度函数就是目标函数。根据适应度函数确定每个个体的适应度值Fi=FitnessFunction(individual);然后确定每个个体被选择的概率Pi=Fi/sum(Fi),sum(Fi)代表所有个体适应度之和。
6、根据轮盘赌选择算子，选取适应度较大的个体。一次选取一个个体，选取n次,得到新的种群population
7、确定交叉概率Pc,对上一步得到的种群进行单点交叉。每次交叉点的位置随机。
8、确定变异概率Pm,假设种群大小为10，每个个体染色体编码长度为33，则一共有330个基因位，则变异的基因位数是330*Pm。接下来，要确定是那个染色体中哪个位置的基因发生了变异。将330按照10进制序号进行编码即从0,1,2,.......229。随机从330个数中选择330*Pm个数，假设其中一个数时154，chromosomeIndex = 154/33 =4,
geneIndex = 154%33 = 22。由此确定了第154号位置的基因位于第4个染色体的第22个位置上，将此位置的基因值置反完成基本位变异操作。
9、以上步骤完成了一次迭代的所有操作。接下就是评估的过程。对变异后得到的最终的种群进行解码，利用解码值求得每个个体的适应度值，将最大的适应度值保存下来，对应的解码后的决策变量的值也保存下来。
10、根据迭代次数，假设是500次，重复执行1-9的步骤，最终得到是一个500个数值的最优适应度取值的数组以及一个500*n的决策变量取值数组（假设有n个决策变量）。从500个值中找到最优的一个（最大或者最小，根据定义的适应度函数来选择）以及对应的决策变量的取值。
对于以上流程不是很清楚的地方，在代码中有详细的注释。也可以自行查找资料补充理论。本文重点是实现
本代码实现的问题是: maxf(x1,x2) = 21.5+x1*sin(4*pi*x1)+x2*sin(20*pi*x2)
s.t. -3.0<=x1<=12.1
4.1<=x2<=5.8
初始种群的编码结果如下图所示:
初始种群的解码结果如下图所示:
适应度值如图所示:
轮盘赌选择后的种群如图所示；
单点交叉后的种群如图所示:
基本位变异后的种群如图所示；
最终结果如下图所示；
源代码如下；
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# !/usr/bin/env python # -*- coding:utf-8 -*- # Author: wsw # 简单实现SGA算法 import numpy as np from scipy.optimize import fsolve, basinhopping import random import timeit # 根据解的精度确定染色体(chromosome)的长度 # 需要根据决策变量的上下边界来确定 def getEncodedLength(delta=0.0001, boundarylist=[]): # 每个变量的编码长度 lengths = [] for i in boundarylist: lower = i[0] upper = i[1] # lamnda 代表匿名函数f(x)=0,50代表搜索的初始解 res = fsolve(lambda x: ((upper - lower) * 1 / delta) - 2 ** x - 1, 50) length = int(np.floor(res[0])) lengths.append(length) return lengths pass # 随机生成初始编码种群 def getIntialPopulation(encodelength, populationSize): # 随机化初始种群为0 chromosomes = np.zeros((populationSize, sum(encodelength)), dtype=np.uint8) for i in range(populationSize): chromosomes[i, :] = np.random.randint(0, 2, sum(encodelength)) # print('chromosomes shape:', chromosomes.shape) return chromosomes # 染色体解码得到表现型的解 def decodedChromosome(encodelength, chromosomes, boundarylist, delta=0.0001): populations = chromosomes.shape[0] variables = len(encodelength) decodedvalues = np.zeros((populations, variables)) for k, chromosome in enumerate(chromosomes): chromosome = chromosome.tolist() start = 0 for index, length in enumerate(encodelength): # 将一个染色体进行拆分，得到染色体片段 power = length - 1 # 解码得到的10进制数字 demical = 0 for i in range(start, length + start): demical += chromosome[i] * (2 ** power) power -= 1 lower = boundarylist[index][0] upper = boundarylist[index][1] decodedvalue = lower + demical * (upper - lower) / (2 ** length - 1) decodedvalues[k, index] = decodedvalue # 开始去下一段染色体的编码 start = length return decodedvalues # 得到个体的适应度值及每个个体被选择的累积概率 def getFitnessValue(func, chromosomesdecoded): # 得到种群规模和决策变量的个数 population, nums = chromosomesdecoded.shape # 初始化种群的适应度值为0 fitnessvalues = np.zeros((population, 1)) # 计算适应度值 for i in range(population): fitnessvalues[i, 0] = func(chromosomesdecoded[i, :]) # 计算每个染色体被选择的概率 probability = fitnessvalues / np.sum(fitnessvalues) # 得到每个染色体被选中的累积概率 cum_probability = np.cumsum(probability) return fitnessvalues, cum_probability # 新种群选择 def selectNewPopulation(chromosomes, cum_probability): m, n = chromosomes.shape newpopulation = np.zeros((m, n), dtype=np.uint8) # 随机产生M个概率值 randoms = np.random.rand(m) for i, randoma in enumerate(randoms): logical = cum_probability >= randoma index = np.where(logical == 1) # index是tuple,tuple中元素是ndarray newpopulation[i, :] = chromosomes[index[0][0], :] return newpopulation pass # 新种群交叉 def crossover(population, Pc=0.8): """ :param population: 新种群 :param Pc: 交叉概率默认是0.8 :return: 交叉后得到的新种群 """ # 根据交叉概率计算需要进行交叉的个体个数 m, n = population.shape numbers = np.uint8(m * Pc) # 确保进行交叉的染色体个数是偶数个 if numbers % 2 != 0: numbers += 1 # 交叉后得到的新种群 updatepopulation = np.zeros((m, n), dtype=np.uint8) # 产生随机索引 index = random.sample(range(m), numbers) # 不进行交叉的染色体进行复制 for i in range(m): if not index.__contains__(i): updatepopulation[i, :] = population[i, :] # crossover while len(index) > 0: a = index.pop() b = index.pop() # 随机产生一个交叉点 crossoverPoint = random.sample(range(1, n), 1) crossoverPoint = crossoverPoint[0] # one-single-point crossover updatepopulation[a, 0:crossoverPoint] = population[a, 0:crossoverPoint] updatepopulation[a, crossoverPoint:] = population[b, crossoverPoint:] updatepopulation[b, 0:crossoverPoint] = population[b, 0:crossoverPoint] updatepopulation[b, crossoverPoint:] = population[a, crossoverPoint:] return updatepopulation pass # 染色体变异 def mutation(population, Pm=0.01): """ :param population: 经交叉后得到的种群 :param Pm: 变异概率默认是0.01 :return: 经变异操作后的新种群 """ updatepopulation = np.copy(population) m, n = population.shape # 计算需要变异的基因个数 gene_num = np.uint8(m * n * Pm) # 将所有的基因按照序号进行10进制编码，则共有m*n个基因 # 随机抽取gene_num个基因进行基本位变异 mutationGeneIndex = random.sample(range(0, m * n), gene_num) # 确定每个将要变异的基因在整个染色体中的基因座(即基因的具体位置) for gene in mutationGeneIndex: # 确定变异基因位于第几个染色体 chromosomeIndex = gene // n # 确定变异基因位于当前染色体的第几个基因位 geneIndex = gene % n # mutation if updatepopulation[chromosomeIndex, geneIndex] == 0: updatepopulation[chromosomeIndex, geneIndex] = 1 else: updatepopulation[chromosomeIndex, geneIndex] = 0 return updatepopulation pass # 定义适应度函数 def fitnessFunction(): return lambda x: 21.5 + x[0] * np.sin(4 * np.pi * x[0]) + x[1] * np.sin(20 * np.pi * x[1]) pass def main(max_iter=500): # 每次迭代得到的最优解 optimalSolutions = [] optimalValues = [] # 决策变量的取值范围 decisionVariables = [[-3.0, 12.1], [4.1, 5.8]] # 得到染色体编码长度 lengthEncode = getEncodedLength(boundarylist=decisionVariables) for iteration in range(max_iter): # 得到初始种群编码 chromosomesEncoded = getIntialPopulation(lengthEncode, 10) # 种群解码 decoded = decodedChromosome(lengthEncode, chromosomesEncoded, decisionVariables) # 得到个体适应度值和个体的累积概率 evalvalues, cum_proba = getFitnessValue(fitnessFunction(), decoded) # 选择新的种群 newpopulations = selectNewPopulation(chromosomesEncoded, cum_proba) # 进行交叉操作 crossoverpopulation = crossover(newpopulations) # mutation mutationpopulation = mutation(crossoverpopulation) # 将变异后的种群解码，得到每轮迭代最终的种群 final_decoded = decodedChromosome(lengthEncode, mutationpopulation, decisionVariables) # 适应度评价 fitnessvalues, cum_individual_proba = getFitnessValue(fitnessFunction(), final_decoded) # 搜索每次迭代的最优解，以及最优解对应的目标函数的取值 optimalValues.append(np.max(list(fitnessvalues))) index = np.where(fitnessvalues == max(list(fitnessvalues))) optimalSolutions.append(final_decoded[index[0][0], :]) # 搜索最优解 optimalValue = np.max(optimalValues) optimalIndex = np.where(optimalValues == optimalValue) optimalSolution = optimalSolutions[optimalIndex[0][0]] return optimalSolution, optimalValue solution, value = main() print('最优解: x1, x2') print(solution[0], solution[1]) print('最优目标函数值:', value) # 测量运行时间 elapsedtime = timeit.timeit(stmt=main, number=1) print('Searching Time Elapsed:(S)', elapsedtime) |
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