题目描述：给一个浮点数序列，取最大乘积连续子串的值，例如 -2.5，4，0，3，0.5，8，-1，则取出的最大乘积连续子串为3，0.5，8。也就是说，上述数组中，3 0.5 8这3个数的乘积3*0.5*8=12是最大的，而且是连续的。
提醒：此最大乘积连续子串与最大乘积子序列不同，请勿混淆，前者子串要求连续，后者子序列不要求连续。也就是说：最长公共子串（Longest CommonSubstring）和最长公共子序列（LongestCommon Subsequence，LCS）的区别：
子串（Substring）是串的一个连续的部分，子序列（Subsequence）则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得的新序列；
更简略地说，前者（子串）的字符的位置必须连续，后者（子序列LCS）则不必。比如字符串“ acdfg ”同“ akdfc ”的最长公共子串为“ df ”，而它们的最长公共子序列LCS是“ adf ”，LCS可以使用动态规划法解决。
解答：
解法一、穷举，所有的计算组合：
或许，读者初看此题，自然会想到最大乘积子序列问题类似于最大子数组和问题：http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6444021，可能立马会想到用最简单粗暴的方式：两个for循环直接轮询。
解法二、虽说类似于最大子数组和问题，但实际上具体处理起来诸多不同。为什么呢，因为乘积子序列中有正有负也还可能有0。我们可以把问题简化成这样：数组中找一个子序列，使得它的乘积最大；同时找一个子序列，使得它的乘积最小（负数的情况）。因为虽然我们只要一个最大积，但由于负数的存在，我们同时找这两个乘积做起来反而方便。也就是说，不但记录最大乘积，也要记录最小乘积。So，我们让maxCurrent表示当前最大乘积的candidate，minCurrent反之，表示当前最小乘积的candidate，而maxProduct则记录到目前为止所有最大乘积candidates的最大值。（以上用candidate这个词是因为只是可能成为新一轮的最大/最小乘积）由于空集的乘积定义为1，在搜索数组前，maxCurrent，minCurrent，maxProduct都赋为1。
假设在任何时刻你已经有了maxCurrent和minCurrent这两个最大/最小乘积的candidates，新读入数组的元素x(i)后，新的最大乘积candidate只可能是maxCurrent或者minCurrent与x(i)的乘积中的较大者，如果x(i)<0导致maxCurrent<minCurrent，需要交换这两个candidates的值。当任何时候maxCurrent<1，由于1（空集）是比maxCurrent更好的candidate，所以更新maxCurrent为1，类似的可以更新minCurrent。任何时候maxCurrent如果比最好的maxProduct大，更新maxProduct。
解法三、本题除了上述类似最大子数组和的解法，也可以直接用动态规划求解（其实，上述的解法一本质上也是动态规划，只是解题所表现出来的具体形式与接下来的解法二不同罢了。这个不同就在于下面的解法二会写出动态规划问题中经典常见的DP方程，而解法一是直接求解）。具体解法如下：
假设数组为a[]，直接利用动归来求解，考虑到可能存在负数的情况，我们用Max来表示以a结尾的最大连续子串的乘积值，用Min表示以a结尾的最小的子串的乘积值，那么状态转移方程为：
Max=max{a, Max[i-1]*a, Min[i-1]*a};
Min=min{a, Max[i-1]*a, Min[i-1]*a};
初始状态为Max[1]=Min[1]=a[1]。
下面来看一道具体的ACM题目
题目
题目描述：
给定一个浮点数序列（可能有正数、0和负数），求出一个最大的连续子序列乘积。
输入：
输入可能包含多个测试样例。
每个测试样例的第一行仅包含正整数 n（n<=100000），表示浮点数序列的个数。
第二行输入n个浮点数用空格分隔。
输入数据保证所有数字乘积在双精度浮点数表示的范围内。
输出：
对应每个测试案例，输出序列中最大的连续子序列乘积，若乘积为浮点数请保留2位小数，如果最大乘积为负数，输出-1。
样例输入：
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1
2
3
4
5
6
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7 -2.5 4 0 3 0.5 8 -1 5 -3.2 5 -1.6 1 2.5 5 -1.1 2.2 -1.1 3.3 -1.1 |
样例输出：
12 64 8.78
思路
最大连续子序列乘积和最大连续子序列和不同，这里先回忆一下最大连续子序列和的最优解结构：
最大连续子序列和
我们用sum[i]来表示以arr[i]结尾的最大连续子序列和，则状态转移方程为：
最大连续子序列乘积
考虑存在负数的情况（ps：负负会得正），因此我们用两个辅助数组，max[i]和min[i],max[i]来表示以arr[i]结尾的最大连续子序列乘积，min[i]来表示以arr[i]结尾的最小连续子序列乘积，因此状态转移方程为：
and
有了状态转移方程，dp代码就很容易实现了，看到这里还不理解的同学，我建议你多花点时间用在算法学习上吧！
AC代码
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1
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9
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#include <stdio.h> #include <stdlib.h> double maxNumInThree(double a, double b, double c) { double max; max = (a > b) ? a : b; max = (max > c) ? max : c; return max; } double minNumInThree(double a, double b, double c) { double min; min = (a < b) ? a : b; min = (min < c) ? min : c; return min; } int main(void) { int i, n; double *arr, *max, *min, res; while (scanf("%d", &n) != EOF) { arr = (double *)malloc(sizeof(double) * n); max = (double *)malloc(sizeof(double) * n); min = (double *)malloc(sizeof(double) * n); for (i = 0; i < n; i ++) scanf("%lf", arr + i); // 动态规划求最大连续子序列乘积 max[0] = min[0] = res = arr[0]; for (i = 1; i < n; i ++) { max[i] = maxNumInThree(arr[i], max[i - 1] * arr[i], min[i - 1] * arr[i]); min[i] = minNumInThree(arr[i], max[i - 1] * arr[i], min[i - 1] * arr[i]); if (max[i] > res) res = max[i]; } if (res >= 0) { // 判断是否为浮点数 if ((res - (int)res) == 0) printf("%d\n", (int)res); else printf("%.2lf\n", res); } else { printf("-1\n"); } free(arr); } return 0; } |
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Problem: 1501
User: wangzhengyi
Language: C
Result: Accepted
Time:110 ms
Memory:4964 kb
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