单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。
一、最短路径的最优子结构性质
该性质描述为：如果p(i,j)={vi....vk..vs...vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的中间顶点，那么p(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。
假设p(i,j)={vi....vk..vs...vj}是从顶点i到j的最短路径，则有p(i,j)=p(i,k)+p(k,s)+p(s,j)。而p(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径p'(k,s)，那么p'(i,j)=p(i,k)+p'(k,s)+p(s,j)<p(i,j)。则与p(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。
二、dijkstra算法
dijkstra提出按各顶点与源点v间的路径长度的递增次序，生成到各顶点的最短路径的算法。既先求出长度最短的一条最短路径，再参照它求出长度次短的一条最短路径，依次类推，直到从源点v 到其它各顶点的最短路径全部求出为止。
对于下图：
运行结果：
从0出发到0的最短路径为：0-->0
从0出发到1的最短路径为：0-->1
从0出发到2的最短路径为：0-->3-->2
从0出发到3的最短路径为：0-->3
从0出发到4的最短路径为：0-->3-->2-->4
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从0出 发到0的最短距离为：0
从0出 发到1的最短距离为：10
从0出 发到2的最短距离为：50
从0出 发到3的最短距离为：30
从0出 发到4的最短距离为：60
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public class dijkstra { static int m=10000;//(此路不通) public static void main(string[] args) { // todo auto-generated method stub int[][] weight1 = {//邻接矩阵 {0,3,2000,7,m}, {3,0,4,2,m}, {m,4,0,5,4}, {7,2,5,0,6}, {m,m,4,6,0} }; int[][] weight2 = { {0,10,m,30,100}, {m,0,50,m,m}, {m,m,0,m,10}, {m,m,20,0,60}, {m,m,m,m,0} }; int start=0; int[] shortpath = dijsktra(weight2,start); for(int i = 0;i < shortpath.length;i++) system.out.println("从"+start+"出发到"+i+"的最短距离为："+shortpath[i]); } public static int[] dijsktra(int[][] weight,int start){ //接受一个有向图的权重矩阵，和一个起点编号start（从0编号，顶点存在数组中） //返回一个int[] 数组，表示从start到它的最短路径长度 int n = weight.length; //顶点个数 int[] shortpath = new int[n]; //存放从start到其他各点的最短路径 string[] path=new string[n]; //存放从start到其他各点的最短路径的字符串表示 for(int i=0;i<n;i++) path[i]=new string(start+"-->"+i); int[] visited = new int[n]; //标记当前该顶点的最短路径是否已经求出,1表示已求出 //初始化，第一个顶点求出 shortpath[start] = 0; visited[start] = 1; for(int count = 1;count <= n - 1;count++) //要加入n-1个顶点 { int k = -1; //选出一个距离初始顶点start最近的未标记顶点 int dmin = integer.max_value; for(int i = 0;i < n;i++) { if(visited[i] == 0 && weight[start][i] < dmin) { dmin = weight[start][i]; k = i; } } system.out.println("k="+k); //将新选出的顶点标记为已求出最短路径，且到start的最短路径就是dmin shortpath[k] = dmin; visited[k] = 1; //以k为中间点，修正从start到未访问各点的距离 for(int i = 0;i < n;i++) { // system.out.println("k="+k); if(visited[i] == 0 && weight[start][k] + weight[k][i] < weight[start][i]){ weight[start][i] = weight[start][k] + weight[k][i]; path[i]=path[k]+"-->"+i; } } } for(int i=0;i<n;i++) system.out.println("从"+start+"出发到"+i+"的最短路径为："+path[i]); system.out.println("====================================="); return shortpath; }} |
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