迪杰斯特拉（dijkstra）算法主要是针对没有负值的有向图，求解其中的单一起点到其他顶点的最短路径算法。
1 算法原理
迪杰斯特拉（dijkstra）算法是一个按照路径长度递增的次序产生的最短路径算法。下图为带权值的有向图，作为程序中的实验数据。
其中，带权值的有向图采用邻接矩阵graph来进行存储，在计算中就是采用n*n的二维数组来进行存储，v0-v5表示数组的索引编号0-5，二维数组的值表示节点之间的权值，若两个节点不能通行，比如，v0->v1不能通行，那么graph[0,1]=+∞ （采用计算机中最大正整数来进行表示）。那如何求解从v0每个v节点的最短路径长度呢?
首先，引进一个辅助数组cost，它的每个值cost[i]表示当前所找到的从起始点v0到终点vi的最短路径的权值（长度花费），该数组的初态为：若从v0到vi有弧，则cost[i]为弧上的权值，否则置cost[i]为+∞。
显然，长度为：cost[j]=min_i(graph[0,i] | v_i in v)的路径就是从v0出发的长度最短的一条最短路径。此路径为(v_0,v_j) ，那么下次长度次短的路径必定是弧(v_0,v_i)上的权值cost[i](v_i in v)，或者是cost[k](v_k in s)和弧(v_k,v_i)的权值之和。其中v：待求解最短路径的节点j集合；s：已求解最短路径的节点集合。
2 算法流程
根据上面的算法原理分析，下面描述算法的实现流程。
初始化：初始化辅助数组cost，从v0出发到图上其余节点v的初始权值为：cost[i]=graph[0,i] | v_i in v ；初始化待求节点s集合，它的初始状态为始点，v集合，全部节点-始节点。
选择节点v_j ，使得cost[j]=min ( cost[i] | v_i in v -s ) ，v_j 就是当前求的一条从v0出发的最短路径的终点，修改s集合，使得 s=s + v_j ，修改集合v = v - v_j。
修改从v0出发到节点v-s上任一顶点 v_k 可达的最短路径，若cost[j]+graph[j,k]<cost[k] ，则修改cost[k]为：cost[k]=cost[j]+graph[j,k] 。
重复操作2，3步骤，直到求解集合v中的所有节点为止。
其中最短路径的存储采用一个path整数数组，path[i]的值记录vi的前一个节点的索引，通过path一直追溯到起点，就可以找到从vi到起始节点的最短路径。比如起始节点索引为0，若path[3]=4, path[4]=0；那么节点v2的最短路径为，v0->v4->v3。
3 算法实现
采用python语言对第2节中的算法流程进行实现，关键代码如下。
3.1 最短路径代码
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#!/bin/python# -*- coding:utf-8 -*-def dijkstra(graph, startindex, path, cost, max): """ 求解各节点最短路径，获取path，和cost数组， path[i] 表示vi节点的前继节点索引，一直追溯到起点。 cost[i] 表示vi节点的花费 """ lenth = len(graph) v = [0] * lenth # 初始化 path，cost，v for i in range(lenth): if i == startindex: v[startindex] = 1 else: cost[i] = graph[startindex][i] path[i] = (startindex if (cost[i] < max) else -1) # print v, cost, path for i in range(1, lenth): mincost = max curnode = -1 for w in range(lenth): if v[w] == 0 and cost[w] < mincost: mincost = cost[w] curnode = w # for 获取最小权值的节点 if curnode == -1: break # 剩下都是不可通行的节点，跳出循环 v[curnode] = 1 for w in range(lenth): if v[w] == 0 and (graph[curnode][w] + cost[curnode] < cost[w]): cost[w] = graph[curnode][w] + cost[curnode] # 更新权值 path[w] = curnode # 更新路径 # for 更新其他节点的权值（距离）和路径 return pathif __name__ == '__main__': max = 2147483647 graph = [ [max, max, 10, max, 30, 100], [max, max, 5, max, max, max], [max, max, max, 50, max, max], [max, max, max, max, max, 10], [max, max, max, 20, max, 60], [max, max, max, max, max, max], ] path = [0] * 6 cost = [0] * 6 print dijkstra(graph, 0, path, cost, max) |
4 运行结果
[0, -1, 0, 4, 0, 3]
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