最小生成树
最小生成树（minimum spanning tree）是由n个顶点，n-1条边，将一个连通图连接起来，且使权值最小的结构。
最小生成树可以用Prim（普里姆）算法或kruskal（克鲁斯卡尔）算法求出。
我们将以下面的带权连通图为例讲解这两种算法的实现：
注：由于测试输入数据较多，程序可以采用文件输入
Prim（普里姆）算法
时间复杂度：O（N^2）（N为顶点数）
prim算法又称“加点法”，用于边数较多的带权无向连通图
方法：每次找与之连线权值最小的顶点，将该点加入最小生成树集合中
注意：相同权值任选其中一个即可，但是不允许出现闭合回路的情况。
代码部分通过以下步骤可以得到最小生成树：
1.初始化：
lowcost[i]:表示以i为终点的边的最小权值,当lowcost[i]=0表示i点加入了MST。
mst[i]:表示对应lowcost[i]的起点，当mst[i]=0表示起点i加入MST。
由于我们规定最开始的顶点是1，所以lowcost[1]=0，MST[1]=0。即只需要对2~n进行初始化即可。
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#define MAX 100 #define MAXCOST 0x7fffffff int graph[MAX][MAX]; void prim(int graph[][MAX], int n) { int lowcost[MAX]; int mst[MAX]; int i, j, min, minid, sum = 0; for (i = 2; i <= n; i++) { lowcost[i] = graph[1][i];//lowcost存放顶点1可达点的路径长度 mst[i] = 1;//初始化以1位起始点 } mst[1] = 0; |
2.查找最小权值及路径更新
定义一个最小权值min和一个最小顶点ID minid，通过循环查找出min和minid，另外由于规定了某一顶点如果被连入，则lowcost[i]=0，所以不需要担心重复点问题。所以找出的终点minid在MST[i]中可以找到对应起点，min为权值，直接输出即可。
我们连入了一个新的顶点，自然需要对这一点可达的路径及权值进行更新，所以循环中还应该包括路径更新的代码。
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for (i = 2; i <= n; i++) { min = MAXCOST; minid = 0; for (j = 2; j <= n; j++) { if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0) { min = lowcost[j];//找出权值最短的路径长度 minid = j; //找出最小的ID } } printf("V%d-V%d=%d ",mst[minid],minid,min); sum += min;//求和 lowcost[minid] = 0;//该处最短路径置为0 for (j = 2; j <= n; j++) { if (graph[minid][j] < lowcost[j])//对这一点直达的顶点进行路径更新 { lowcost[j] = graph[minid][j]; mst[j] = minid; } } } printf("最小权值之和=%d ",sum);} |
具体代码如下：
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#include<stdio.h> #define MAX 100 #define MAXCOST 0x7fffffff int graph[MAX][MAX]; void prim(int graph[][MAX], int n) { int lowcost[MAX]; int mst[MAX]; int i, j, min, minid, sum = 0; for (i = 2; i <= n; i++) { lowcost[i] = graph[1][i];//lowcost存放顶点1可达点的路径长度 mst[i] = 1;//初始化以1位起始点 } mst[1] = 0; for (i = 2; i <= n; i++) { min = MAXCOST; minid = 0; for (j = 2; j <= n; j++) { if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0) { min = lowcost[j];//找出权值最短的路径长度 minid = j; //找出最小的ID } } printf("V%d-V%d=%d ",mst[minid],minid,min); sum += min;//求和 lowcost[minid] = 0;//该处最短路径置为0 for (j = 2; j <= n; j++) { if (graph[minid][j] < lowcost[j])//对这一点直达的顶点进行路径更新 { lowcost[j] = graph[minid][j]; mst[j] = minid; } } } printf("最小权值之和=%d ",sum);} int main() { int i, j, k, m, n; int x, y, cost; //freopen("1.txt","r",stdin);//文件输入 scanf("%d%d",&m,&n);//m=顶点的个数，n=边的个数 for (i = 1; i <= m; i++)//初始化图 { for (j = 1; j <= m; j++) { graph[i][j] = MAXCOST; } } for (k = 1; k <= n; k++) { scanf("%d%d%d",&i,&j,&cost); graph[i][j] = cost; graph[j][i] = cost; } prim(graph, m); return 0; } |
编译运行结果：
kruskal（克鲁斯卡尔）算法
时间复杂度：O（NlogN）（N为边数）
kruskal算法又称“加边法”，用于边数较少的稀疏图
方法：每次找图中权值最小的边，将边连接的两个顶点加入最小生成树集合中
注意：相同权值任选其中一个即可，但是不允许出现闭合回路的情况。
代码部分通过以下步骤可以得到最小生成树：
1.初始化：
构建边的结构体，包括起始顶点、终止顶点，边的权值
借用一个辅助数组vset[i]用来判断某边是否加入了最小生成树集合
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#define MAXE 100#define MAXV 100typedef struct{ int vex1; //边的起始顶点 int vex2; //边的终止顶点 int weight; //边的权值}Edge;void kruskal(Edge E[],int n,int e){ int i,j,m1,m2,sn1,sn2,k,sum=0; int vset[n+1]; for(i=1;i<=n;i++) //初始化辅助数组 vset[i]=i; k=1;//表示当前构造最小生成树的第k条边，初值为1 j=0;//E中边的下标，初值为0 |
2.取边和辅助集合更新
按照排好的顺序依次取边，若不属于同一集合则将其加入最小生成树集合，每当加入新的边，所连接的两个点即纳入最小生成树集合，为避免重复添加，需要进行辅助集合更新
注：由于kruskal算法需要按照权值大小顺序取边，所以应该事先对图按权值升序，这里我采用了快速排序算法，具体算法可以参照快速排序（C语言）
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while(k<e)//生成的边数小于e时继续循环 { m1=E[j].vex1; m2=E[j].vex2;//取一条边的两个邻接点 sn1=vset[m1]; sn2=vset[m2]; //分别得到两个顶点所属的集合编号 if(sn1!=sn2)//两顶点分属于不同的集合，该边是最小生成树的一条边 {//防止出现闭合回路 printf("V%d-V%d=%d ",m1,m2,E[j].weight); sum+=E[j].weight; k++; //生成边数增加 if(k>=n) break; for(i=1;i<=n;i++) //两个集合统一编号 if (vset[i]==sn2) //集合编号为sn2的改为sn1 vset[i]=sn1; } j++; //扫描下一条边 } printf("最小权值之和=%d ",sum);} |
具体算法实现：
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#include <stdio.h>#define MAXE 100#define MAXV 100typedef struct{ int vex1; //边的起始顶点 int vex2; //边的终止顶点 int weight; //边的权值}Edge;void kruskal(Edge E[],int n,int e){ int i,j,m1,m2,sn1,sn2,k,sum=0; int vset[n+1]; for(i=1;i<=n;i++) //初始化辅助数组 vset[i]=i; k=1;//表示当前构造最小生成树的第k条边，初值为1 j=0;//E中边的下标，初值为0 while(k<e)//生成的边数小于e时继续循环 { m1=E[j].vex1; m2=E[j].vex2;//取一条边的两个邻接点 sn1=vset[m1]; sn2=vset[m2]; //分别得到两个顶点所属的集合编号 if(sn1!=sn2)//两顶点分属于不同的集合，该边是最小生成树的一条边 {//防止出现闭合回路 printf("V%d-V%d=%d ",m1,m2,E[j].weight); sum+=E[j].weight; k++; //生成边数增加 if(k>=n) break; for(i=1;i<=n;i++) //两个集合统一编号 if (vset[i]==sn2) //集合编号为sn2的改为sn1 vset[i]=sn1; } j++; //扫描下一条边 } printf("最小权值之和=%d ",sum);}int fun(Edge arr[],int low,int high) { int key; Edge lowx; lowx=arr[low]; key=arr[low].weight; while(low<high) { while(low<high && arr[high].weight>=key) high--; if(low<high) arr[low++]=arr[high]; while(low<high && arr[low].weight<=key) low++; if(low<high) arr[high--]=arr[low]; } arr[low]=lowx; return low; } void quick_sort(Edge arr[],int start,int end){ int pos; if(start<end) { pos=fun(arr,start,end); quick_sort(arr,start,pos-1); quick_sort(arr,pos+1,end); }}int main(){ Edge E[MAXE]; int nume,numn; //freopen("1.txt","r",stdin);//文件输入 printf("输入顶数和边数: "); scanf("%d%d",&numn,&nume); for(int i=0;i<nume;i++) scanf("%d%d%d",&E[i].vex1,&E[i].vex2,&E[i].weight); quick_sort(E,0,nume-1); kruskal(E,numn,nume);} |
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