递归（ recursion）是一种神奇的编程技巧，可以大幅简化代码，使之看起来更加简洁。然而递归设计却非常抽象，不容易掌握。通常，我们都是自上而下的思考问题， 递归则是自下而上的解决问题——这就是递归看起来不够直观的原因。
和递归相关的概念里，线性递归/非线性递归、单向递归/非单向递归，是非常重要的，要想掌握递归技术，就必须要深入理解。关于递归的基本概念，有兴趣的读者，可以参考我的博客《Python 递归算法指归》。今天，仅就背包问题谈非单向递归函数如何返回全部结果。
背包问题的背后，是世界七大数学难题之一，多项式复杂程度的非确定性问题。作为程序员，可以将该问题大致上理解为组合优化的问题。背包问题通常被这样描述：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，如何选择，才能使得物品的总价格最高。如果加上不同的限制和条件，背包问题可以衍生出很多变种。比如，下面这道题看起来和背包问题相去甚远，实质上仍然是一个典型的背包问题。
在一款英雄对战游戏中，玩家拥有m件装备和n位英雄，他可以给每一位英雄分配0件或多件装备，而不同的英雄拥有不同数目的装备时将获得不同的攻击力。玩家如何分配这m件装备，可以使得n个英雄获得的攻击力的和最大？以玩家拥有5件装备和3位英雄为例，下表共有3行6列，对应着3位英雄分别拥有从0到5件装备时的攻击力。
| 0件 | 1件 | 2件 | 3件 | 4件 | 5件 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 英雄1 | 0 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
| 英雄2 | 0 | 1 | 1 | 3 | 3 | 7 |
| 英雄3 | 0 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
即使不熟悉背包问题，也不难找到解题思路：
- 找出所有可能的装备分配方案
- 计算每一个方案的攻击值
- 选择攻击值最大的分配方案
1. 找出所有可能的装备分配方案
找出将m件装备分配给n位英雄的所有方案是解决问题的核心。这里，循环嵌套是行不通的，因为嵌套层数是输入变量。递归是我想到的可行的方法。
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>>> def bag(m, n, series=list()): if n == 1: for i in range(m+1): print(series+[i]) else: for i in range(m+1): bag(m-i, n-1, series+[i]) >>> bag(3,2) # 将3件装备分配给2位英雄的全部方案[0, 0][0, 1][0, 2][0, 3][1, 0][1, 1][1, 2][2, 0][2, 1][3, 0] |
递归函数bag，打印出了将3件装备分配给2位英雄的全部方案。显然，这不是一个单向递归，因为在同一级有多次递归调用，这意味着递归过程有多次从递归出口走出。对于非单向递归，是不能使用return返回结果的。那么，如何让递归函数返回全部方案呢？请看下面的例子。
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>>> def bag(m, n, result, series=list()): if n == 1: for i in range(m+1): result.append(series+[i]) #print(result[-1]) else: for i in range(m+1): bag(m-i, n-1, result, series+[i]) >>> result = list()>>> bag(5, 3, result) # 将5件装备分配给3位英雄，共有56种分配方案>>> len(result)56>>> result[[0, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 0, 2], [0, 0, 3], [0, 0, 4], [0, 0, 5], [0, 1, 0], [0, 1, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 3], [0, 1, 4], [0, 2, 0], [0, 2, 1], [0, 2, 2], [0, 2, 3], [0, 3, 0], [0, 3, 1], [0, 3, 2], [0, 4, 0], [0, 4, 1], [0, 5, 0], [1, 0, 0], [1, 0, 1], [1, 0, 2], [1, 0, 3], [1, 0, 4], [1, 1, 0], [1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 1, 3], [1, 2, 0], [1, 2, 1], [1, 2, 2], [1, 3, 0], [1, 3, 1], [1, 4, 0], [2, 0, 0], [2, 0, 1], [2, 0, 2], [2, 0, 3], [2, 1, 0], [2, 1, 1], [2, 1, 2], [2, 2, 0], [2, 2, 1], [2, 3, 0], [3, 0, 0], [3, 0, 1], [3, 0, 2], [3, 1, 0], [3, 1, 1], [3, 2, 0], [4, 0, 0], [4, 0, 1], [4, 1, 0], [5, 0, 0]] |
上面的代码中，在调用递归函数之前，先创建一个全局的列表对象result，并作为参数传递给递归函数。递归调用结束后，全部的装备分配方案就保存在列表对象result中。
2. 计算每一个方案的攻击值
遍历56种分配方案，计算每一种方案的攻击力之和，保存到一个新的列表v中。p为3位英雄分别拥有从0到5件装备时的攻击力。
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>>> p = [ [0,1,3,5,7,9], [0,1,1,3,3,7], [0,3,4,5,6,7]]>>> v = list()>>> for item in result: v.append(p[0][item[0]] + p[1][item[1]] + p[2][item[2]]) >>> v[0, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 4, 5, 6, 7, 1, 4, 5, 6, 3, 6, 7, 3, 6, 7, 1, 4, 5, 6, 7, 2, 5, 6, 7, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 6, 7, 8, 4, 7, 8, 4, 7, 6, 5, 8, 9, 6, 9, 6, 7, 10, 8, 9] |
3. 选择攻击值最大的分配方案
找出v列表最大值的序号，进而得到攻击力最大的装备分配方案。
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>>> max(v)10>>> result[v.index(max(v))] [4, 0, 1] |
最佳分配方案是第1位英雄持有4件装备，第2位英雄没有装备，第3位英雄持有1件装备，此时3位英雄的攻击力之和为最大，其值为10。
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