小明对搭积木非常感兴趣。他的积木都是同样大小的正立方体。
在搭积木时，小明选取 m 块积木作为地基，将他们在桌子上一字排开，中间不留空隙，并称其为第0层。
随后，小明可以在上面摆放第1层，第2层，……，最多摆放至第n层。摆放积木必须遵循三条规则
规则1：每块积木必须紧挨着放置在某一块积木的正上方，与其下一层的积木对齐；
规则2：同一层中的积木必须连续摆放，中间不能留有空隙；
规则3：小明不喜欢的位置不能放置积木。
其中，小明不喜欢的位置都被标在了图纸上。图纸共有n行，从下至上的每一行分别对应积木的第1层至第n层。每一行都有m个字符，字符可能是‘.'或‘X'，其中‘X'表示这个位置是小明不喜欢的。
现在，小明想要知道，共有多少种放置积木的方案。他找到了参加蓝桥杯的你来帮他计算这个答案。
由于这个答案可能很大，你只需要回答这个答案对1000000007(十亿零七)取模后的结果。
注意：地基上什么都不放，也算作是方案之一种。
输入格式：
数据的第一行有两个正整数n和m，表示图纸的大小。
随后n行，每行有m个字符，用来描述图纸 。每个字符只可能是‘.'或‘X'。
输出格式：
一个整数，表示答案对1000000007取模后的结果。
输入样例1：
2 3
..X
.X.
输出样例1：
4
输入样例2：
3 3
..X
.X.
...
输出样例2：
16
解题思路：
首先先推导出递推式，观察题目，可以得到递推式为：
用代码表示即为：
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1
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3
4
5
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for(int c=1;c<a;c++){ for(int d=b;d<m;d++){ dp[i][a][b]+=dp[i-1][c][d]; }} |
意思是
在第i层的a到b长度放置积木的可能数=在i-1层的所有包含a到b的长度的积木的可能数的和。
除了单纯的判断递推式以外，还需要考虑一种特殊情况，就是积木放置的长度中存在X，即小明不想放的位置，那么就不需要进行递推，直接返回0。
判断[a,b]是否存在X，可以用前缀和来判断，节省时间。
前缀和初始化为：
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1
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s[i][j] = s[i][j-1] + (temp=='X'); |
推导出递推式以后可以很容易的写出代码：
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#include<iostream>using namespace std;const int N = 30;int n, m;int dp[30][30][30];int s[30][30];int cnt=1;int main() { cin >> n >> m; getchar(); for (int i = n; i >0; i--) {//初始化前缀和 for (int j = 1; j <= m; j++) { char temp = getchar(); s[i][j] = s[i][j-1] + (temp=='X'); } getchar(); } dp[0][1][m]=1;//第0层，长度从1到m的积木有一种可能 for (int i = 1; i <=n; i++) {//第i层 for (int a = 1; a <= m; a++) { for (int b = a; b <= m; b++) { if (s[i][b] - s[i][a - 1] != 0) {//a到b区间存在X dp[i][a][b] = 0; continue; } for (int c = 1; c <= a; c++) { for (int d = b; d <= m; d++) { dp[i][a][b] += dp[i - 1][c][d]; } } cnt += dp[i][a][b];//记录数量 } } } cout << cnt; return 0;} |
优化
但是仔细一想，五个for循环无法通过最后50%的测试点，所以需要进行优化，观察最内层的两个c，d的for循环可知，有如下图像：
实际上最内层的两个循环就是在求第i-1层的红色区域面积。
那我们再利用二维的前缀和进行存储，那就可以优化掉两个循环，从而使时间复杂度降低，通过最后的测试点。
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#include<iostream>using namespace std;const int N = 30;const int mod = 1e9 + 7;int n, m;int dp[30][30][30];int s[30][30];//用来判断是否存在Xint sum[30][30];//指的是左下角所有dp[i][][]的和int cnt=1;void get_fixsum(int i) { //更新第i层的前缀和数组 for (int a = 1; a <= m; a++) { for (int b = 1; b <= m; b++) { sum[a][b] =(sum[a][b-1]+sum[a-1][b]-sum[a-1][b-1]+ dp[i][a][b])%mod; } }}int main() { cin >> n >> m; getchar(); for (int i = n; i >0; i--) { for (int j = 1; j <= m; j++) { char temp = getchar(); s[i][j] = s[i][j-1] + (temp=='X'); } getchar(); } dp[0][1][m]=1;//第0层，长度从1到m的积木有一种可能 get_fixsum(0); for (int i = 1; i <=n; i++) {//层数 for (int a = 1; a <= m; a++) { for (int b = a; b <= m; b++) { if (s[i][b] - s[i][a - 1] != 0) {//a到b区间存在X dp[i][a][b] = 0; continue; } dp[i][a][b] = (sum[a][m] - sum[0][m] - sum[a][b-1] + sum[0][b-1])%mod; cnt =(cnt+ dp[i][a][b])%mod; } } get_fixsum(i); } cout << (cnt+mod)%mod;//防止出现负数 return 0;} |
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原文链接：https://blog.csdn.net/qq_45931661/article/details/116562121
