也许，我们永远都不会知道自己能走到何方，遇见何人，最后会变成什么样的人，但一定要记住，能让自己登高的，永远不是别人的肩膀，而是挑灯夜战的自己，人生的道路刚刚启程，当你累了倦了也不要迷茫，回头看一看，你早已不再是那个年少轻狂的少年。
一、前言
数组的搜索比较方便，可以直接用下标，但删除和插入就比较麻烦；
链表与之相反，删除和插入元素很快，但查找比较慢；
此时，二叉树应运而生，二叉树既有链表的好处，也有数组的好处，在处理大批量的动态数据时比较好用，是一种折中的选择。
文件系统和数据库系统一般都是采用树（特别是B树）的数据结构数据，主要为排序和检索的效率。
二叉树是一种最基本最典型的排序树，用于教学和研究树的特性，本身很少在实际中进行应用，因为缺点太明显，就像冒泡排序一样，因为效率问题并不实用，但也是我们必须会的。
二、二叉树缺点
1、顺序存储可能会浪费空间（在非完全二叉树的时候），但是读取某个指定的结点的时候效率比较高O(0)；
2、链式存储相对于二叉树，浪费空间较少，但是读取某个结点的时候效率偏低O(nlogn)。
满二叉树：
在一颗二叉树中，如果所有分支结点都有左子结点和右子结点，并且叶结点都集中在二叉树的最底层，这样的二叉树称为满二叉树。
完全二叉树：
若二叉树中最多只有最下面两层的结点，而且相差只有1级，并且最下面一层的叶结点都依次排列在该层的最左边位置，则这样的二叉树称为完全二叉树。
三、遍历与结点删除
二叉树是一种非常重要的数据结构，非常多的数据结构都是基于二叉树的基础演变而来的。对于二叉树有深度遍历和广度遍历，深度遍历有前序、中序以及后序三种遍历方法，广度遍历即我们寻常所说的层次遍历。由于树的定义本身就是递归定义，因此采用递归的方法实现树的三种遍历。
对于一段代码来说，可读性有时候要比代码本身的效率要重要的多。
1、四种基本的遍历思想
- 前序遍历：根结点 -->左子树-->右子树；
- 中序遍历：左子树 -->根结点-->右子树；
- 后续遍历：左子树 -->右子树-->根结点；
- 层次遍历：仅仅需按成次遍历即可；
2、自定义二叉树
3、代码实现
（1）girlNode
package com.guor.tree;
public class GirlNode {
private int no;
private String name;
private GirlNode left; //默认null
private GirlNode right; //默认null
//1、如果leftType == 0表示指向的是左子树，如果 leftType == 1则表示指向的是前驱结点
//2、如果rightType == 0表示指向的是右子树，如果 rightType == 1则表示指向的是后继结点
private int leftType;
private int rightType;
public int getLeftType() {
return leftType;
}
public void setLeftType(int leftType) {
this.leftType = leftType;
}
public int getRightType() {
return rightType;
}
public void setRightType(int rightType) {
this.rightType = rightType;
}
public GirlNode(int no, String name) {
this.no = no;
this.name = name;
}
public int getNo() {
return no;
}
public void setNo(int no) {
this.no = no;
}
public String getName() {
return name;
}
public void setName(String name) {
this.name = name;
}
public GirlNode getLeft() {
return left;
}
public void setLeft(GirlNode left) {
this.left = left;
}
public GirlNode getRight() {
return right;
}
public void setRight(GirlNode right) {
this.right = right;
}
@Override
public String toString() {
return "GirlNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
}
//前序遍历
public void preOrder() {
System.out.println(this);//先输出父节点
//递归向左子树前序遍历
if(this.left != null) {
this.left.preOrder();
}
//递归向右子树前序遍历
if(this.right != null) {
this.right.preOrder();
}
}
//中序遍历
public void midOrder() {
//递归向左子树中序遍历
if(this.left != null) {
this.left.midOrder();
}
System.out.println(this);//输出父节点
//递归向右子树前序遍历
if(this.right != null) {
this.right.midOrder();
}
}
//后序遍历
public void postOrder() {
//递归向左子树后序遍历
if(this.left != null) {
this.left.postOrder();
}
//递归向右子树前序遍历
if(this.right != null) {
this.right.postOrder();
}
System.out.println(this);//输出父节点
}
//递归删除结点
//1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
//2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
public void delNode(int no) {
//思路
/*
* 1. 因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点.
2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
3. 如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
4. 如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
5. 如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除.
*/
//2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
if(this.left != null && this.left.no == no) {
this.left = null;
return;
}
//3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
if(this.right != null && this.right.no == no) {
this.right = null;
return;
}
//4.我们就需要向左子树进行递归删除
if(this.left != null) {
this.left.delNode(no);
}
//5.则应当向右子树进行递归删除
if(this.right != null) {
this.right.delNode(no);
}
}
}
（2）二叉树测试
package com.guor.tree;
public class BinaryTreeTest {
public static void main(String[] args) {
//创建一个二叉树
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
//创建结点
HeroNode root = new HeroNode(1, "比比东");
HeroNode node2 = new HeroNode(2, "云韵");
HeroNode node3 = new HeroNode(3, "美杜莎");
HeroNode node4 = new HeroNode(4, "纳兰嫣然");
HeroNode node5 = new HeroNode(5, "雅妃");
root.setLeft(node2);
root.setRight(node3);
node3.setLeft(node4);
node3.setRight(node5);
binaryTree.setRoot(root);
System.out.println("前序遍历");
binaryTree.preOrder();
System.out.println("中序遍历");
binaryTree.midOrder();
System.out.println("后序遍历");
binaryTree.postOrder();
binaryTree.delNode(3);
System.out.println("删除结点3，前序遍历");
binaryTree.preOrder();
}
}
//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
private HeroNode root;
public HeroNode getRoot() {
return root;
}
public void setRoot(HeroNode root) {
this.root = root;
}
//前序遍历
public void preOrder() {
if(this.root != null) {
this.root.preOrder();
}else {
System.out.println("二叉树为空，不能遍历");
}
}
//中序遍历
public void midOrder() {
if(this.root != null) {
this.root.midOrder();
}else {
System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
}
}
//后序遍历
public void postOrder() {
if(this.root != null) {
this.root.postOrder();
}else {
System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
}
}
//删除结点
public void delNode(int no) {
if(root != null) {
//如果只有一个root结点, 这里立即判断root是不是就是要删除结点
if(root.getNo() == no) {
root = null;
} else {
//递归删除
root.delNode(no);
}
}else{
System.out.println("空树，不能删除~");
}
}
}
（3）控制台输出
四、先看一个问题
将数列{1,3,6,8,10,14}构建成一颗二叉树。
问题分析：
- 当我们对上面的二叉树进行中序遍历时，数列为{8,3,10,1,6,14}。
- 但是6,8,10,14这几个节点的左右指针，并没有完全的利用上。
- 如果我们希望充分的利用各个节点的左右指针，让各个节点可以指向自己的前后节点，要怎么办？
- 解决方案 --> 线索化二叉树
五、线索化二叉树
1、n个节点的二叉树链表总含有n+1（公式2n-(n-1)=n+1）个空指针域。利用二叉树表中的空指针域，存放指向该节点在某种遍历次序下的前驱和后继节点的指针（这种附加的指针称为“线索”）
2、这种加上了线索的二叉树称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树（Threaded BinaryTree）。根据线索性质的不同，线索二叉树可分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树三种。
3、一个节点的前一个节点，称为前驱节点
4、一个节点的后一个节点，称为后继节点
说明：当线索化二叉树后，Node节点的属性left和right，有如下情况：
- left指向的是左子树，也可能指向的前驱节点，比如①节点left指向的左子树，而⑩节点的left指向的就是前驱节点。
- right指向的是右子树，也可能是指向后继节点，比如①节点right指向的是右子树，而⑩节点的right指向的是后继节点。
六、线索化二叉树代码实例
1、线索化二叉树
package com.guor.tree;
//定义ThreadBinaryTree，实现了线索化功能的二叉树
public class ThreadedBinaryTree {
private HeroNode root;
//为了实现线索化，需要创建指向当前结点的前驱结点的指针
//在递归进行线索化时，pre总是保留前一个结点
private HeroNode pre = null;
public HeroNode getRoot() {
return root;
}
public void setRoot(HeroNode root) {
this.root = root;
}
//重载threadedNodes方法
public void threadedNodes(){
this.threadedNodes(root);
}
/**
* 编写对二叉树进行中序线索化的方法
* @param node 当前需要线索化的结点
*/
public void threadedNodes(HeroNode node){
//如果node==null，不能线索化
if(node == null){
return;
}
//1、先线索化左子树
threadedNodes(node.getLeft());
//2、线索化当前结点
//处理当前结点的前驱结点
//以8为例来理解
//8结点的.left = null，8结点的.leftType = 1
if(node.getLeft() == null){
//让当前结点的左指针指向前驱结点
node.setLeft(pre);
//修改当前结点的左指针的类型，指向前驱结点
node.setLeftType(1);
}
//处理后继结点
if(pre != null && pre.getRight() == null){
//让当前结点的右指针指向当前结点
pre.setRight(node);
//修改当前结点的右指针的类型=
pre.setRightType(1);
}
//每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点
pre = node;
//3、线索化右子树
threadedNodes(node.getRight());
}
//前序遍历
public void preOrder() {
if(this.root != null) {
this.root.preOrder();
}else {
System.out.println("二叉树为空，不能遍历");
}
}
//中序遍历
public void midOrder() {
if(this.root != null) {
this.root.midOrder();
}else {
System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
}
}
//后序遍历
public void postOrder() {
if(this.root != null) {
this.root.postOrder();
}else {
System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
}
}
//删除结点
public void delNode(int no) {
if(root != null) {
//如果只有一个root结点, 这里立即判断root是不是就是要删除结点
if(root.getNo() == no) {
root = null;
} else {
//递归删除
root.delNode(no);
}
}else{
System.out.println("空树，不能删除~");
}
}
}
2、测试
package com.guor.tree;
public class ThreadedBinaryTreeTest {
public static void main(String[] args) {
//测试中序线索二叉树的功能
HeroNode root = new HeroNode(1,"比比东");
HeroNode node2 = new HeroNode(3,"云韵");
HeroNode node3 = new HeroNode(6,"纳兰嫣然");
HeroNode node4 = new HeroNode(8,"雅妃");
HeroNode node5 = new HeroNode(10,"千仞雪");
HeroNode node6 = new HeroNode(14,"美杜莎");
//二叉树，后面我们要递归创建，现在简单处理使用手动创建
root.setLeft(node2);
root.setRight(node3);
node2.setLeft(node4);
node2.setRight(node5);
node3.setLeft(node6);
//测试中序线索化
ThreadedBinaryTree threadedBinaryTree = new ThreadedBinaryTree();
threadedBinaryTree.setRoot(root);
threadedBinaryTree.threadedNodes();
//以10号节点测试
HeroNode leftNode = node5.getLeft();
System.out.println("10号结点的前驱结点是："+leftNode);//应该是3号
HeroNode rightNode = node5.getRight();
System.out.println("10号结点的后继结点是："+rightNode);//应该是1号
}
}
3、控制台输出
七、遍历线索化二叉树
说明：对前面的中序线索化的二叉树，进行遍历
分析：因为线索化后，各个结点指向有变化，因此原来的遍历方式不能使用，这时需要使用心得方式遍历线索化二叉树，各个结点可以通过线型方式遍历，因此无需使用递归方式，这样也提高了遍历的效率。遍历的次序应当和中序遍历保持一致。
1、代码实例
/**
* 遍历线索化二叉树的方法
*/
public void threadedList(){
//定义一个变量，存储当前遍历的结点，从root开始
HeroNode node = root;
while (node != null){
//循环找到leftType == 1的结点，第一个找到就是8结点
//后面随着遍历而变化，因为当leftType==1时，说明该结点是按照线索化处理后的有效结点
while(node.getLeftType() == 0){
node = node.getLeft();
}
//打印当前结点
System.out.println(node);
//如果当前结点的右指针指向的是后继结点，就一直输出
while(node.getRightType() == 1){
//获取当前结点的后继结点
node = node.getRight();
System.out.println(node);
}
//替换这个遍历的结点
node = node.getRight();
}
}
2、控制台输出
八、大顶堆和小顶堆图解说明
1、堆排序基本介绍
- 堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为线性对数阶，它也是不稳定排序。
- 堆是具有以下特性的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右子结点的值，称为大顶堆，注意：没有要求结点的左子结点值和右子结点值的大小关系。
- 每个结点的值都小于或等于其左右子结点的值，称为小顶堆。
2、大顶堆举例说明
我们对堆中的结点按层进行编号，映射到数组中就是下面这一个样子
大顶堆特点：
arr[i]>=ar[2*i+1]&&arr[i]>=arr[2*i+2]//i对应第几个结点，i从0开始编号
3、小顶堆距离说明
小顶堆特点：
arr[i]<=arr[2*i+1]&&arr[i]<=arr[2*i+2]//i对应第几个结点，i从0开始编号
4、一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆
堆排序基本思想
- 将待排序序列构成一个大顶堆
- 此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点
- 将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值
- 然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。
九、堆排序思路和步骤解析
1、将无序二叉树调整为大顶堆
（1）原始的数组[4,6,8,5,9]
（2）此时从最后一个非叶子结点开始（第一个非叶子结点arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是6结点），从左至右，从上至下进行调整。
（3）再找到第二个非叶子结点，由于[4，9，8]中9最大，所以4和9交换。
4、此时，交换之后导致[4，5，6]结构混乱了，继续调整，交换4和6。
此时，我们就讲一个无序结构的二叉树调整为了一个大顶堆。
2、将堆顶元素与末尾元素进行交换
使末尾元素最大。然后继续调整堆，再讲堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。
3、重新调整结构
使其继续满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。
再将堆顶的8与末尾元素5交换，得到第二大元素8
然后继续进行调整，交换，最后变成：
简单总结一下堆排序的基本思路：
- 将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆；
- 将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素交换至数组末端；
- 重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。
十、堆排序代码实例
1、堆排序代码
package com.guor.tree;
import java.util.Arrays;
public class HeapSort {
public static void main(String[] args) {
//要求将数组进行升序排序
int arr[] = {4,6,8,5,9};
heapSort(arr);
}
public static void heapSort(int arr[]){
int temp = 0;
System.out.println("堆排序。");
//分步完成
//adjustHeap(arr,1,arr.length);
//System.out.println("第一次调整："+ Arrays.toString(arr));//{4,9,8,5,6}
//adjustHeap(arr,0,arr.length);
//System.out.println("第二次调整："+ Arrays.toString(arr));//{9,6,8,5,4}
//完成最终代码
//将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆
//arr.length/2-1为叶子结点个数
for(int i = arr.length/2-1;i>=0;i--){
adjustHeap(arr, i, arr.length);
}
System.out.println("调整为大顶堆："+ Arrays.toString(arr));//大顶堆{9,6,8,5,4}
//第二步：将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再讲堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。
//第三步：重新调整结构，使其继续满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。
for(int j = arr.length - 1;j > 0; j--){
//交换
temp=arr[j];
arr[j]= arr[0];
arr[0] = temp;
adjustHeap(arr, 0, j);
}
System.out.println("最终有序序列："+ Arrays.toString(arr));//大顶堆{4,5,6,8,9}
}
/**
* 功能：完成将以i为叶子节点的树调整为大顶堆
* @demo int arr[] = {4,6,8,5,9};i = 1 --> adjustHeap --> {4,9,8,5,6}
* 如果再调用adjustHeap，传入i=0 --> 大顶堆{9,6,8,5,4}
* @param arr 待调整的数组
* @param i 表示非叶子结点在数组中的索引
* @param length 表示对多少个元素进行继续调整，length逐渐减少
*/
public static void adjustHeap(int arr[], int i, int length){
//取出当前元素的值，保存为临时变量
int temp = arr[i];
//1、k = i * 2 + 1 ,k是i结点的左子结点
for(int k = i * 2 + 1; k < length; k = k * 2 + 1){
//左子结点的值小于右子结点的值
if(k+1 temp){
arr[i] = arr[k];//将较大的值赋给当前结点
i = k;//i指向k,继续循环比较
}else{
break;
}
}
//当for循环结束后，我们已经将以i为父节点的树的最大值，放在了最顶，完成局部大顶堆
arr[i] = temp;//将temp值放到调整后的位置
}
}
2、堆排序控制台输出
3、堆排序性能测试
因为堆排序的时间复杂度是线性对数阶，所以堆排序是非常快的，性能相当强悍，拿1000万条数据进行排序测试一下，let‘s go！
public static void main(String[] args) {
//模拟测试1000万条数据
int[] arr = new int[10000000];
for(int i = 0; i< 10000000; i++){
arr[i] = (int)(Math.random() * 10000000);
}
long start = new Date().getTime();
heapSort(arr);
long end = new Date().getTime();
System.out.println("1000万条数据，堆排序耗时："+(end-start)+"ms");
}
4、性能测试控制台输出
十一、赫夫曼树
1、基本介绍
（1）给定n个权值作为n个叶子结点，构造一颗二叉树，若该树的带权路径长度wpl达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为赫夫曼树。
（2）赫夫曼树是带权路径长度最短的树，权重较大的结点离根较近。
2、赫夫曼树几个重要概念和举例说明
（1）路径和路径长度
在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
（2）结点的权及带权路径长度
若将树中结点赋给一个有着某种意义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
（3）树的带权路径长度
树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，为WPL（weighted path length），权重越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。
（4）WPL最小的就是赫夫曼树。
3、赫夫曼树创建思路
- 从小到大进行排序，将每一个数据，每个数据都是一个结点，每个结点可以看成是一颗最简单的二叉树
- 取出根结点权重最小的两颗二叉树
- 组成一颗新的二叉树，该新的二叉树的根结点的权值是前面两颗二叉树根结点权值的和
- 再将这颗新的二叉树，以根结点的权值大小再次排序，不断重复1-2-3-4的步骤，直到数列中，所有的数据都被处理，就得到一颗赫夫曼树
4、赫夫曼树代码实例
（1）Node
package com.guor.huffmantree; public class Node implements Comparable{ int value;//结点权值 Node left;//指向左子结点 Node right;//指向右子结点 public Node(int value){ this.value = value; } @Override public String toString(){ return "Node [value="+value+"]"; } @Override public int compareTo(Node o) { //表示从小到大排序 return this.value - o.value; } //写一个前序遍历 public void preOrder(){ System.out.println(this); if(this.left != null){ this.left.preOrder(); } if(this.right != null){ this.right.preOrder(); } } }
（2）创建赫夫曼树HuffmanTree
package com.guor.huffmantree;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;
public class HuffmanTree {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {13,7,8,3,29,6,1};
Node root = createHuffmanTree(arr);
//测试
preOrder(root);
}
//编写一个前序遍历的方法
public static void preOrder(Node root){
if(root != null){
root.preOrder();
}else {
System.out.println("空树不能遍历.");
}
}
//创建赫夫曼树的方法
public static Node createHuffmanTree(int[] arr){
List nodeList = new ArrayList<>();
for(int value : arr){
nodeList.add(new Node(value));
}
//处理的过程是一个循环的过程
while (nodeList.size() > 1){
//从小到大排序
Collections.sort(nodeList);
System.out.println("nodes="+nodeList);
//取出根结点权值最小的两颗二叉树
//1、取出权值最小的结点
Node leftNode = nodeList.get(0);
//2、取出权值第二小的结点
Node rightNode = nodeList.get(1);
//3、构建一颗新的二叉树
Node parent = new Node(leftNode.value + rightNode.value);
parent.left = leftNode;
parent.right = rightNode;
//4、从list中删除处理过的二叉树
nodeList.remove(leftNode);
nodeList.remove(rightNode);
//5、将parent加入list
nodeList.add(parent);
}
//返回赫夫曼树的root结点
return nodeList.get(0);
}
}
（3）控制台输出
到此这篇关于详解二叉树，2万字带你进入算法领域的文章就介绍到这了,更多相关java二叉树内容请搜索服务器之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持服务器之家！
原文链接：https://blog.csdn.net/guorui_java/article/details/119685290
