[LeetCode] 64. Minimum Path Sum 最小路径和
Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.
Note: You can only move either down or right at any point in time.
Example:
Input:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
Output: 7
Explanation: Because the path 1→3→1→1→1 minimizes the sum.
这道题给了我们一个只有非负数的二维数组，让找一条从左上到右下的路径，使得路径和最小，限定了每次只能向下或者向右移动。一个常见的错误解法就是每次走右边或下边数字中较小的那个，这样的贪婪算法获得的局部最优解不一定是全局最优解，因此是不行的。实际上这道题跟之前那道 Dungeon Game 没有什么太大的区别，都需要用动态规划 Dynamic Programming 来做，这应该算是 DP 问题中比较简单的一类，我们维护一个二维的 dp 数组，其中 dp[i][j] 表示到达当前位置的最小路径和。接下来找状态转移方程，因为到达当前位置 (i, j) 只有两种情况，要么从上方 (i-1, j) 过来，要么从左边 (i, j-1) 过来，我们选择 dp 值较小的那个路径，即比较 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1]，将其中的较小值加上当前的数字 grid[i][j]，就是当前位置的 dp 值了。但是有些特殊情况要提前赋值，比如起点位置，直接赋值为 grid[0][0]，还有就是第一行和第一列，其中第一行的位置只能从左边过来，第一列的位置从能从上面过来，所以这两行要提前初始化好，然后再从 (1, 1) 的位置开始更新到右下角即可，反正难度不算大，代码如下：
解法一：
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class Solution {public: int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { if (grid.empty() || grid[0].empty()) return 0; int m = grid.size(), n = grid[0].size(); vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n)); dp[0][0] = grid[0][0]; for (int i = 1; i < m; ++i) dp[i][0] = grid[i][0] + dp[i - 1][0]; for (int j = 1; j < n; ++j) dp[0][j] = grid[0][j] + dp[0][j - 1]; for (int i = 1; i < m; ++i) { for (int j = 1; j < n; ++j) { dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]); } } return dp[m - 1][n - 1]; }}; |
我们可以优化空间复杂度，可以使用一个一维的 dp 数组就可以了，初始化为整型最大值，但是 dp[0][0] 要初始化为0。之所以可以用一维数组代替之前的二维数组，是因为当前的 dp 值只跟左边和上面的 dp 值有关。这里我们并不提前更新第一行或是第一列，而是在遍历的时候判断，若j等于0时，说明是第一列，我们直接加上当前的数字，否则就要比较是左边的 dp[j-1] 小还是上面的 dp[j] 小，当是第一行的时候，dp[j] 是整型最大值，所以肯定会取到 dp[j-1] 的值，然后再加上当前位置的数字即可，参见代码如下：
解法二：
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class Solution {public: int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { if (grid.empty() || grid[0].empty()) return 0; int m = grid.size(), n = grid[0].size(); vector<int> dp(n, INT_MAX); dp[0] = 0; for (int i = 0; i < m; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { if (j == 0) dp[j] += grid[i][j]; else dp[j] = grid[i][j] + min(dp[j], dp[j - 1]); } } return dp[n - 1]; }}; |
我们还可以进一步的优化空间，连一维数组都不用新建，而是直接使用原数组 grid 进行累加，这里的累加方式跟解法一稍有不同，没有提前对第一行和第一列进行赋值，而是放在一起判断了，当i和j同时为0时，直接跳过。否则当i等于0时，只加上左边的值，当j等于0时，只加上面的值，否则就比较左边和上面的值，加上较小的那个即可，参见代码如下：
解法三：
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class Solution {public: int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { if (grid.empty() || grid[0].empty()) return 0; for (int i = 0; i < grid.size(); ++i) { for (int j = 0; j < grid[i].size(); ++j) { if (i == 0 && j == 0) continue; if (i == 0) grid[0][j] += grid[0][j - 1]; else if (j == 0) grid[i][0] += grid[i - 1][0]; else grid[i][j] += min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]); } } return grid.back().back(); }}; |
下面这种写法跟上面的基本相同，只不过用了 up 和 left 两个变量来计算上面和左边的值，看起来稍稍简洁一点，参见代码如下：
解法四：
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class Solution {public: int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { if (grid.empty() || grid[0].empty()) return 0; for (int i = 0; i < grid.size(); ++i) { for (int j = 0; j < grid[i].size(); ++j) { if (i == 0 && j == 0) continue; int up = (i == 0) ? INT_MAX : grid[i - 1][j]; int left = (j == 0) ? INT_MAX : grid[i][j - 1]; grid[i][j] += min(up, left); } } return grid.back().back(); }}; |
到此这篇关于C++实现LeetCode(64.最小路径和)的文章就介绍到这了,更多相关C++实现最小路径和内容请搜索服务器之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持服务器之家！
原文链接：https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4353255.html
