数据结构与算法之使用最小花费爬楼梯

使用最小花费爬楼梯

力扣题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/min-cost-climbing-stairs

数组的每个下标作为一个阶梯，第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i](下标从 0 开始)。

每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。

请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。

示例 1：

• 输入：cost = [10, 15, 20]
• 输出：15
• 解释：最低花费是从 cost[1] 开始，然后走两步即可到阶梯顶，一共花费 15 。

示例 2：

• 输入：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
• 输出：6
• 解释：最低花费方式是从 cost[0] 开始，逐个经过那些 1 ，跳过 cost[3] ，一共花费 6 。

提示：

• cost 的长度范围是 [2, 1000]。
• cost[i] 将会是一个整型数据，范围为 [0, 999] 。

思路

这道题目可以说是昨天动态规划：爬楼梯的花费版本。

注意题目描述：每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯

所以示例1中只花费一个15 就可以到阶梯顶，最后一步可以理解为 不用花费。

读完题大家应该知道指定需要动态规划的，贪心是不可能了。

确定dp数组以及下标的含义

使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。

dp[i]的定义：到达第i个台阶所花费的最少体力为dp[i]。(注意这里认为是第一步一定是要花费)

对于dp数组的定义，大家一定要清晰!

确定递推公式

可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

那么究竟是选dp[i-1]还是dp[i-2]呢?

一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];

注意这里为什么是加cost[i]，而不是cost[i-1],cost[i-2]之类的，因为题目中说了：每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值

dp数组如何初始化

根据dp数组的定义，dp数组初始化其实是比较难的，因为不可能初始化为第i台阶所花费的最少体力。

那么看一下递归公式，dp[i]由dp[i-1]，dp[i-2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。

所以初始化代码为：

1. vector<int> dp(cost.size());
2. dp[0] = cost[0];
3. dp[1] = cost[1];

确定遍历顺序

最后一步，递归公式有了，初始化有了，如何遍历呢?

本题的遍历顺序其实比较简单，简单到很多同学都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了。

因为是模拟台阶，而且dp[i]又dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

但是稍稍有点难度的动态规划，其遍历顺序并不容易确定下来。

例如：01背包，都知道两个for循环，一个for遍历物品嵌套一个for遍历背包容量，那么为什么不是一个for遍历背包容量嵌套一个for遍历物品呢?以及在使用一维dp数组的时候遍历背包容量为什么要倒叙呢?

这些都是遍历顺序息息相关。当然背包问题后续「代码随想录」都会重点讲解的!

举例推导dp数组

拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：

使用最小花费爬楼梯

如果大家代码写出来有问题，就把dp数组打印出来，看看和如上推导的是不是一样的。

以上分析完毕，整体C++代码如下：

1. // 版本一
2. class Solution {
3. public:
4. int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
5. vector<int> dp(cost.size());
6. dp[0] = cost[0];
7. dp[1] = cost[1];
8. for (int i = 2; i < cost.size(); i++) {
9. dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
10. }
11. // 注意最后一步可以理解为不用花费，所以取倒数第一步，第二步的最少值
12. return min(dp[cost.size() - 1], dp[cost.size() - 2]);
13. }
14. };

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

还可以优化空间复杂度，因为dp[i]就是由前两位推出来的，那么也不用dp数组了，C++代码如下：

1. // 版本二
2. class Solution {
3. public:
4. int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
5. int dp0 = cost[0];
6. int dp1 = cost[1];
7. for (int i = 2; i < cost.size(); i++) {
8. int dpi = min(dp0, dp1) + cost[i];
9. dp0 = dp1; // 记录一下前两位
10. dp1 = dpi;
11. }
12. return min(dp0, dp1);
13. }
14. };

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

当然我不建议这么写，能写出版本一就可以了，直观简洁!

在后序的讲解中，可能我会忽略这种版本二的写法，大家只要知道有这么个写法就可以了哈。

拓展

这道题描述也确实有点魔幻。

题目描述为：每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。

示例1：

输入：cost = [10, 15, 20] 输出：15

从题目描述可以看出：要不是第一步不需要花费体力，要不就是第最后一步不需要花费体力，我个人理解：题意说的其实是第一步是要支付费用的!。因为是当你爬上一个台阶就要花费对应的体力值!

所以我定义的dp[i]意思是也是第一步是要花费体力的，最后一步不用花费体力了，因为已经支付了。

当然也可以样，定义dp[i]为:第一步是不花费体力，最后一步是花费体力的。

所以代码这么写：

1. class Solution {
2. public:
3. int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
4. vector<int> dp(cost.size() + 1);
5. dp[0] = 0; // 默认第一步都是不花费体力的
6. dp[1] = 0;
7. for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
8. dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
9. }
10. return dp[cost.size()];
11. }
12. };

这么写看上去比较顺，但是就是感觉和题目描述的不太符。哈哈，也没有必要这么细扣题意了，大家只要知道，题目的意思反正就是要不是第一步不花费，要不是最后一步不花费，都可以。

总结

大家可以发现这道题目相对于 昨天的动态规划：爬楼梯有难了一点，但整体思路是一样。

从动态规划：斐波那契数到 动态规划：爬楼梯再到今天这道题目，录友们感受到循序渐进的梯度了嘛。

每个系列开始的时候，都有录友和我反馈说题目太简单了，赶紧上难度，但也有录友和我说有点难了，快跟不上了。

其实我选的题目都是有目的性的，就算是简单题，也是为了练习方法论，然后难度都是梯度上来的，一环扣一环。

但我也可以随便选来一道难题讲呗，这其实是最省事的，不用管什么题目顺序，看心情找一道就讲。

难的是把题目按梯度排好，循序渐进，再按照统一方法论把这些都串起来，哈哈，所以大家不要催我哈，按照我的节奏一步一步来就行啦。

学算法，认准「代码随想录」，没毛病!

其他语言版本

Java

1. class Solution {
2. public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
3. if (cost == null || cost.length == 0) {
4. return 0;
5. }
6. if (cost.length == 1) {
7. return cost[0];
8. }
9. int[] dp = new int[cost.length];
10. dp[0] = cost[0];
11. dp[1] = cost[1];
12. for (int i = 2; i < cost.length; i++) {
13. dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
14. }
15. //最后一步，如果是由倒数第二步爬，则最后一步的体力花费可以不用算
16. return Math.min(dp[cost.length - 1], dp[cost.length - 2]);
17. }
18. }

Python

1. class Solution:
2. def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
3. dp = [0] * (len(cost))
4. dp[0] = cost[0]
5. dp[1] = cost[1]
6. for i in range(2, len(cost)):
7. dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
8. return min(dp[len(cost) - 1], dp[len(cost) - 2])

Go

1. func minCostClimbingStairs(cost []int) int {
2. dp := make([]int, len(cost))
3. dp[0], dp[1] = cost[0], cost[1]
4. for i := 2; i < len(cost); i++ {
5. dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
6. }
7. return min(dp[len(cost)-1], dp[len(cost)-2])
8. }
9.  
10. func min(a, b int) int {
11. if a < b {
12. return a
13. }
14. return b
15. }

Javascript

1. var minCostClimbingStairs = function(cost) {
2. const dp = [ cost[0], cost[1] ]
3.  
4. for (let i = 2; i < cost.length; ++i) {
5. dp[i] = Math.min(dp[i -1] + cost[i], dp[i - 2] + cost[i])
6. }
7.  
8. return Math.min(dp[cost.length - 1], dp[cost.length - 2])
9. };

原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/BMqGP5s-HP02HD6C7wyhKQ