非参数检验是在总体方差未知或知道甚少的情况下，利用样本数据对总体分布形态进行推断的方法。它利用数据的大小间的次序关系(秩Rank)，而不是具体数值信息，得出推断结论。
它是参数检验所需要的某些条件不满足时所使用的方法。
和参数检验相比，非参数检验的优势如下：
稳健性。对总体分布的条件要求放宽
对数据类型要求不严格，适用有序分类变量
适用范围广
劣势：
没有利用实际数值，损失了部分信息，检验的有效性较差。
非参数性检验的方法非常多，基于方法的检验功效性角度，本文只涉及
双独立样本：Mann-Whitney U检验
双配对样本：Wilcoxon配对秩和检验
多独立样本：Kruskal-Wallis检验
多配对样本：Friedman检验
Mann-Whitney U检验
曼-惠特尼U检验(曼-惠特尼秩和检验)，是由H.B.Mann和D.R.Whitney于1947年提出的。它假设两个样本分别来自除了总体均值以外完全相同的两个总体，目的是检验这两个总体的均值是否有显著的差别。
适用条件
双独立样本检验
R语言示例
函数及格式：wilcox.test(y~x,data)
其中，y是连续变量，x是一个二分变量。
也可以使用这种形式：
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wilcox.test(y1,y2) |
其中，y1和y2为变量名。可选参数data的取值为一个包含这些变量的矩阵或数据框。
示例：
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#载入MASS包library(MASS)#使用UScrime数据集#Prob为监禁率，So为是否南方地区#检验美国监禁率是否存在南方和非南方差异#wilcox.test检验wilcox.test(Prob~So,data = UScrime)#结果 Wilcoxon rank sum testdata: Prob by SoW = 81, p-value = 8.488e-05alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0#结果显示P小于0.001,美国监禁率存在南方和非南方地区差异。 |
Wilcoxon配对秩和检验
Wilcoxon配对秩和检验是对Sign符号检验的改进。它的假设被归结为总体中位数是否为0。
适用条件
双配对样本检验
R语言示例
Wilcoxon配对秩和检验调用函数格式与Mann-Whitney U检验相同。不同之处在于可以添加paired=TRUE参数。
示例：
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#u1(14-24岁年龄段城市男性失业率)#u2(35-39岁年龄段城市男性失业率)#检验失业率是否在两个年龄段存在差异#Wilcoxon配对秩和检验with(UScrime,wilcox.test(U1,U2,paired = TRUE))#结果 Wilcoxon signed rank test with continuity correctiondata: U1 and U2V = 1128, p-value = 2.464e-09alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0#结果显示，存在差别。 |
Kruskal-Wallis检验
由克罗斯考尔和瓦里斯1952年提出，用来解决多独立样本难以满足方差分析条件(独立性、正态性、方差齐性)时统计推断问题。
适用条件
多独立样本检验
R语言示例
函数格式：
kruskal.test(y~A,data)
其中，y为连续变量，A为两个或更多水平的分组变量。
示例：
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#检验美国四个地区文盲率是否存在差异#数据皆来自R自带数据集#通过state.region数据集获取地区名称，即分组变量。states <- data.frame(state.region,state.x77)#调用kruskal.test函数kruskal.test(Illiteracy~state.region,data = states)#结果 Kruskal-Wallis rank sum testdata: Illiteracy by state.regionKruskal-Wallis chi-squared = 22.672, df = 3, p-value =4.726e-05#结果显示，文盲率存在地区差异。 |
Friedman检验
Friedman检验也称弗里德曼双向评秩方差分析。由Friedman在1937年提出，基本思想是独立对每一个区组分别对数据进行排秩，消除区组间的差异以检验各种处理之间是否存在差异。
适用条件
多配对样本检验
Fiedman检验在样本量有限的情况下，实际应用价值不大。
R语言示例
函数格式：
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friedman.test(y~A|B,data) |
其中，y为连续变量，A是一个分组变量，B是一个用以认定匹配观测的区组变量。
或者
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friedman.test(data=matrix格式) |
其中，data要求矩阵格式。可以通过as.matrix转换
示例：
(虚构)有30名女性分为三组每组10人，试吃三种药。经过一段时间后，药效如下。问三种药药效是否有区别。
药1
4.4,5,5.8,4.6,4.9,4.8,6,5.9,4.3,5.1
药2
6.2,5.2,5.5,5,4.4,5.4,5,6.4,5.8,6.2
药3
7.0,6.2,5.9,6,4.6,6.4,5,6.4,5.8,6.2
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#生成数据集drug1 <- c(4.4,5,5.8,4.6,4.9,4.8,6,5.9,4.3,5.1)drug2 <- c(6.2,5.2,5.5,5,4.4,5.4,5,6.4,5.8,6.2)drug3 <- c(7.0,6.2,5.9,6,4.6,6.4,5,6.4,5.8,6.2)#矩阵data <- matrix(c(drug1,drug2,drug3),nrow = 10,dimnames = list(ID=1:10,c('drug1','drug2','drug3')))#查看数据data ID drug1 drug2 drug3 1 4.4 6.2 7.0 2 5.0 5.2 6.2 3 5.8 5.5 5.9 4 4.6 5.0 6.0 5 4.9 4.4 4.6 6 4.8 5.4 6.4 7 6.0 5.0 5.0 8 5.9 6.4 6.4 9 4.3 5.8 5.8 10 5.1 6.2 6.2#调用friedman.test函数friedman.test(data) Friedman rank sum testdata: dataFriedman chi-squared = 6.8889, df = 2, p-value =0.03192#结果显示，三种药之间存在区别。 |
补充：R语言置换检验
置换检验
双样本均值检验的时候，假设检验的方法就是，检查正态性、独立性、方差齐性，分别对应的参数非参数方法进行假设检验，但是，这些方法都要求样本数必须有多少多少，但是，由于试验时，各种条件的限制，导致样本量过小，此时以上方法几乎都会失真，置换检验就应运而生了。
Permutation test 置换检验是Fisher于20世纪30年代提出的一种基于大量计算 （computationally intensive），利用样本数据的全（或随机）排列，进行统计推断的方法，因其对总体分布自由，应用较为广泛，特别适用于总体分布未知的小样本资料，以及某些难以用常规方法分析资料的假设检验问题。在具体使用上它和Bootstrap Methods类似，通过对样本进行顺序上的置换，重新计算统计检验量，构造经验分布，然后在此基础上求出P-value进行推断。
置换检验的操作方法：假设有两组待检数据，A组有m个数据，B组有n个数据，均值差为d0，现把所有数据放在一起进行随机抽取，抽出m个放入A组，剩下n个放入B组，计算A、B两组的均值差记为d1，再放在一起进行随机重抽m、n两组，得到均值差记为d2，重复这个步骤k次得到（d3……dk），于是d1……dk可以画出一张正态图，然后看d0落在什么方，若落在置信水平之外，即可以显著说明它们是有差异的。
R代码如下：
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a<-c(24,43,58,67,61,44,67,49,59,52,62,50,42,43,65,26,33,41,19,54,42,20,17,60,37,42,55,28)group<-factor(c(rep("A",12),rep("B",16)))data<-data.frame(group,a)find.mean<-function(x){ mean(x[group=="A",2])-mean(x[group=="B",2]) } results<-replicate(999,find.mean(data.frame(group,sample(data[,2])))) p.value<-length(results[results>mean(data[group=="A",2])-mean(data[group=="B",2])])/1000hist(results,breaks=20,prob=TRUE)lines(density(results)) |
coin包置换检验
coin包介绍
coin包中的置换检验有以下几种：
| 检 验 | coin函数 |
|---|---|
| 两样本和K样本置换检验 | oneway_test(y ~ A) |
| 含一个分层（区组）因子的两样本和K样本置换检验 | oneway_test(y ~ A | C) |
| Wilcoxon-Mann-Whitney秩和检验 | wilcox_test(y ~ A) |
| Kruskal-Wallis检验 | kruskal_test(y ~ A) |
| Person卡方检验 | chisq_test(A ~ B) |
| Cochran-Mantel-Haenszel检验 | cmh_test(A ~ B | C) |
| 线性关联检验 | lbl_test(D ~ E) |
| Spearman检验 | spearman_test(y ~ x) |
| Friedman检验 | friedman_test(y ~ A | C) |
| Wilcoxon符号秩检验 | wilcoxsign_test(y1 ~ y2) |
注：在上表中，y和x是数值变量，A和B是分类因子，C是类别型区组变量，D和E是有序因子，y1和y2是相匹配的值变量
表中所有的函数使用方法都一样：
functionName(formula,dataframe,distribution)，其中distribution指定经验分布在零假设条件下的形式，可能值有exact，asymptotic和approximate，若distribution = "exact"，那么在零假设条件下，分布的计算是精确的（即依据所有可能的排列组合）。当然，也可以根据它的渐进分布（distribution = "asymptotic"）或蒙特卡洛重抽样（distribution = "approxiamate(B = #)"）来做近似计算，其中#指所需重复的次数。distribution = "exact"当前仅可用于两样本问题。
原函数与置换检验比较
| 函数 | 简介 | 程序及结果 |
|---|---|---|
| t.test() | 双样本均值t检验 | > score <- c(40, 57, 45, 55, 58, 57, 64, 55, 62, 65) > treatment <- factor(c(rep(“A”, 5), rep(“B”, 5))) > mydata <- data.frame(treatment, score) > t.test(score ~ treatment, data = mydata, var.equal = TRUE) Two Sample t-test data: score by treatment t = -2.345, df = 8, p-value = 0.04705 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -19.0405455 -0.1594545 sample estimates: mean in group A mean in group B 51.0 60.6 |
| oneway_test() | 双样本均值置换检验 | > oneway_test(score ~ treatment, data = mydata, distribution = “exact”) Exact Two-Sample Fisher-Pitman Permutation Test data: score by treatment (A, B) Z = -1.9147, p-value = 0.07143 alternative hypothesis: true mu is not equal to 0 |
| wilcox.test() | 双样本秩和独立性检验 | > wilcox.test(Prob~So,data=UScrime) Wilcoxon rank sum test data: Prob by So W = 81, p-value = 8.488e-05 alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0 |
| wilcox_test() | 双样本秩和独立性置换检验 | > UScrime2 <- transform(UScrime, So = factor(So)) > wilcox_test(Prob ~ So, data = UScrime2, distribution = “exact”) Exact Wilcoxon-Mann-Whitney Test data: Prob by So (0, 1) Z = -3.7493, p-value = 8.488e-05 alternative hypothesis: true mu is not equal to 0 |
| aov() | 单因素方差分析 | > library(multcomp) >summary(aov(response~trt,data=cholesterol)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trt 4 1351.4 337.8 32.43 9.82e-13 *** Residuals 45 468.8 10.4 |
| oneway_test() | K样本置换检验 | > oneway_test(response ~ trt, data = cholesterol, distribution = approximate(B = 9999)) Approximative K-Sample Fisher-Pitman Permutation Test data: response by trt (1time, 2times, 4times, drugD, drugE) chi-squared = 36.381, p-value < 2.2e-16 |
| chisq.test() | 卡方列联表均值差异检验 | > chisq.test(xtabs(~Treatment+Improved,Arthritis)) Pearson's Chi-squared test data: xtabs(~Treatment + Improved, Arthritis) X-squared = 13.055, df = 2, p-value = 0.001463 |
| chisq_test() | 卡方置换检验 | > chisq_test(Treatment ~ Improved, data = transform(Arthritis, Improved = as.factor(as.numeric(Improved))),distribution = approximate(B = 9999)) Approximative Pearson Chi-Squared Test data: Treatment by Improved (1, 2, 3) chi-squared = 13.055, p-value = 0.0012 |
| mantelhaen.test() | 分层卡方检验，看是否把相关因素划分出去 | > mytable <- xtabs(~Treatment+Improved+Sex, data=vcd::Arthritis) > mantelhaen.test(mytable) Cochran-Mantel-Haenszel test data: mytable Cochran-Mantel-Haenszel M^2 = 14.632, df = 2, p-value = 0.0006647 |
| cmh_test() | 分层卡方置换检验，看是否把相关因素划分出去 | > cmh_test(mytable) Asymptotic Generalized Cochran-Mantel-Haenszel Test data: Improved by Treatment (Placebo, Treated) stratified by Sex chi-squared = 14.632, df = 2, p-value = 0.0006647 |
| cor() | spearman等级相关系数 | > with(states,cor(Illiteracy,Murder,method=”spearman”)) [1] 0.6723592 |
| spearman_test() | 数值独立性置换检验(两数值变量独立即不相关) | > spearman_test(Murder~Illiteracy,data=states) Asymptotic Spearman Correlation Test data: Murder by Illiteracy Z = 4.7065, p-value = 2.52e-06 alternative hypothesis: true rho is not equal to 0 |
| t.test(paired=T) | 非独立样本的配对t检验，检验均值是否相等 | > with(MASS::UScrime,t.test(U1,U2,paired=TRUE)) Paired t-test data: U1 and U2 t = 32.407, df = 46, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: 57.67003 65.30870 sample estimates: mean of the differences 61.48936 |
| wilcoxsign_test() | wilcox符号秩置换检验，检验均值是否相等 | > wilcoxsign_test(U1 ~ U2, data = MASS::UScrime,distribution = “exact”) Exact Wilcoxon-Pratt Signed-Rank Test data: y by x (pos, neg) stratified by block Z = 5.9691, p-value = 1.421e-14 alternative hypothesis: true mu is not equal to 0 |
| friedman_test() | 多组别独立性置换检验，检验均值是否相等 | > USc<-MASS::UScrime[,c(“U1”,”U2”)] > USc$U3<-sample(as.matrix(USc),47) >friedman_test(value~variable|ID,data=transform(reshape::melt(data.frame(USc,ID=seq(1,47)),id.vars=”ID”),ID=as.factor(ID))) Asymptotic Friedman Test data: value by variable (U1, U2, U3) stratified by ID chi-squared = 51.384, df = 2, p-value = 6.953e-12 |
coin包的介绍至此结束，当然还有一个lbl_test()函数未列出，暂时还不晓得有什么用，以后再说。
lmPerm包置换检验
lmPerm包介绍
lmPerm包可以做非正态理论检验，包含的函数为lmp()以及aovp()两个，它们与lm()和aov()类似，只是多了一个perm参数（perm=”Exact”,”Prob”,”SPR”)，参数值”Exact”根据所有可能的排列组合生成精确检验，”Prob”从所有可能的排列中不断抽样，直至估计的标准差在估计的p值0.1之下，判停准则由可选的Ca参数控制，SPR使用贯序概率比检验来判断何时停止抽样。若观测数大于10，perm=”Exact”会自动转化为perm=”Prob”，因为精确检验只适用于小样本问题。
因为只涉及了两个函数，这个包就不贴代码和结果，仅说明一下差异是什么，
回归（简单、多项式、多元）
首先是lm与lmp，除了函数的用法多了个perm参数之外，所得结果模板（注意，是模板，而非结果，结果出现差异应该去找数据的问题，如两者结果不一致，则需要重新审视数据的可靠性）存在差异：
1）少了常数项，但可以通过各变量均值求得，注意，使用coefficients(fit)所得的常数项是错的！ 根据回归线必过均值点的定义，可以使用各变量的均值来计算其常数项。如多元分析中的例子计算方式为：
mean(states$Murder)-sum(colMeans(states)[names(coefficients(fit)[c(-1)])]*(coefficients(fit)[c(-1)]))
2）回归系数项中多了Iter一栏，它表示要达到判停准则所需要的迭代次数。
方差分析
与回归一致，所有使用aov分析的地方都可以使用aovp来代替，区别就是，aov用的是F统计量，而aovp使用的是置换法，Iter为判停准则的迭代次数。
需要注意的是，aovp使用的是唯一平方和方法，每种效应根据其它效应进行调整，而aov使用的是序贯平方平法，每种效应根据先出现的效应进行调整，这两个方法在不平衡设计中所得结果不同，越不平衡的设计，差异越大。可以在aovp函数里加入参数seqs=TRUE可以生成序贯平方和的计算结果。
点评
置换检验真正发挥功用的地方是处理非正态数据（如分布偏倚很大）、存在离群点、样本很小或无法做参数检验等情况。不过，如果初始样本对感兴趣的总体情况代表性很差，即使是置换检验也无法提高推断效果。
自助法
置换检验主要用于生成检验零假设的p值，它有助于回答“效应是否存在”这样的问题。不过，置换方法对于获取置信区间和估计测量精度是比较困难的。幸运的是，这正是自助法大显神通的地方。
自助法的步骤：
1. 一个样本数为n的样本，进行m次有放回抽样；
2. 计算并记录样本统计量（比如均值、方差、甚至t检验量等，可以一个，可以多个）；
3. 重复1000到2000次，或者更多，并把它们从小到大进行排序；
4. 根据双尾95%分位点，即2.5%和97.5%分位数，即为95%置信区间的下限和上限。
boot包
boot包可以进行自助法抽检，并生成相应的置信区间。
主要的步骤如下：
1. 定义函数，返回一个统计值或一个向量（多个统计值），函数要包括indices参数，以便boot()函数用它从每个重复中选择实例，主要是stype参数，默认为i（索引值），还有f（频率）和w（权重），indices可以简定为i；
2. 用boot(data,sitisctic,R,……）函数生成一个bootobject。
3. 使用boot.ci(bootobject,conf,type)生成置信区间，其中conf定义置信区间，type定义置信区间类型（即计算方法），包含norm、basic、stud、perc、bca和all（其中norm为正态分布的置信区间计算方法，约两个标准差距离，perc为上下分位数计算方法，stud为t分布计算方法），若返回值为向量，则利用index参数来指定某个变量的置信区间。
4. 其它相关数据：比如bootobjectt为重复R次的统计量值（一个“R*统计量个数”的矩阵）
最后谨记：置换检验和自助法并不是万能的，它们无法将烂数据转化为好数据。当初始样本对于总体情况的代表性不佳，或者样本量过小而无法准确地反映总体情况，这些方法也是爱莫能助。
以上为个人经验，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持服务器之家。如有错误或未考虑完全的地方，望不吝赐教。
原文链接：https://blog.csdn.net/renewallee/article/details/102992196
