波动方程数值解
波动方程是三大物理方程之一，也就是弦振动方程，其特点是时间与空间均为二阶偏导数。其自由空间解便是我们熟知的三角函数形式，也可以写成自然虚指数形式。
一般来说，既然有了精确的解析解，那也就没必要再去做不精确的数值模拟，但数值模拟的好处有两个，一是避免无穷小，从而在思维上更加直观；二是颇具启发性，对于一些解析无解的情况也有一定的处理能力。
对此，我们首先考虑一维波动方程
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def set_y0(x,k,L):
y = np.zeros_like(x)
y[x<L] = np.sin(k*x[x<L])*np.sin(np.abs(x[x<L]*np.pi/L))
return y
if __name__ == "__main__":
x = np.linspace(0,10,1000)
k = np.pi*2/1.064
L = 5
y = set_y0(x,k,L)
plt.plot(x,y)
plt.show()
其形状为
现考虑让这个光波在 [ 0 , L ] 范围内往返传播，在此采用Dirichlet边界条件，取
至此，我们得到了光场的所有信息，原则上可以预测这个波包的所有行为，其迭代过程为
def wave1d(x,t,k,L):
dx = x[1]-x[0]
dt = t[1]-t[0]
d2 = (dt/dx)**2
y = np.zeros([len(t),len(x)])
y[0,:] = set_y0(x,k,L)
y[1,:] = set_y0(x-dt,k,L)
for n in range(2,len(t)):
y[n] = 2*y[n-1] - y[n-2] - d2*2*y[n-1]
y[n,1:] += d2*y[n-1,:-1]
y[n,:-1] += d2*y[n-1,1:]
#边界条件
y[n,0] = 0
y[n,-1] = 0
return y
由于 y y y是随时间变化的参量，现有的matplotlib.pyplot已经无法满足我们绘制动态图片的需求，所以引入animation来进行绘制，其代码为
import matplotlib.animation as animation
#输入时间，自变量，因变量，图题标记
def drawGif(t,x,ys,mark="time="):
tAxis = np.linspace(0,len(t)-1,100).astype(int)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111,xlim=(0,10),ylim=(-1.5,1.5))
ax.grid()
line, = ax.plot([],[],lw=0.2)
time_text = ax.text(0.1,0.9,"",transform=ax.transAxes)
def init():
line.set_data([],[])
time_text.set_text("")
return line, time_text
def animate(i):
y = ys[i]
line.set_data(x,y)
time_text.set_text(mark+str(t[i]))
return line, time_text
# 动态图绘制命令
# 输入分别为画图窗口，动画函数，动画函数输入变量，延时，初始函数
ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, tAxis,
interval=200, init_func=init)
#通过imagemagick引擎来保存gif
ani.save("wave.gif",writer="imagemagick")
plt.show()
if __name__ == "__main__":
x = np.linspace(0,10,1000)
t = np.linspace(0,12,2041)
k = np.pi*2/1.064
L = 5
y = wave1d(x,t,k,L)
drawGif(t,x,y)
得到结果为
这个图虽然很符合我们的预期，但有些物理过程并不清晰，我们不妨把初始波包设置为只有一个波峰的孤波
def set_y0(x,k,L):
y = np.zeros_like(x)
y[x<L] = np.sin(np.abs(x[x<L]*np.pi/L))
return y
其图像为
我们可以清晰地看到，正弦波通过腔壁后，其震动方向发生了变化，此即半波损失。
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