Python数据拟合实现最小二乘法示例解析

所谓最小二乘法，即通过对数据进行拟合，使得拟合值与样本值的方差最小。

 

线性拟合

这个表达式还是非常简单的。

对于有些情况，我们往往选取自然序列作为自变量，这个时候在求自变量的取值时可以用到一些初等数学的推论，对于 x ∈ [ m , n ] 的自然序列来说，有

#文件名core.py
import numpy as np
def leastSquare(x,y):
  if len(x)==2:
  #此时x为自然序列
      sx = 0.5*(x[1]-x[0]+1)*(x[1]+x[0])
      ex = sx/(x[1]-x[0]+1)
      sx2 = ((x[1]*(x[1]+1)*(2*x[1]+1))
            -(x[0]*(x[0]-1)*(2*x[0]-1)))/6
      x = np.array(range(x[0],x[1]+1))
  else:
      sx = sum(x)
      ex = sx/len(x)
      sx2 = sum(x**2)    
  sxy = sum(x*y)
  ey = np.mean(y)
  a = (sxy-ey*sx)/(sx2-ex*sx)
  b = (ey*sx2-sxy*ex)/(sx2-ex*sx)
  return a,b

测试一下

>>> x = np.arange(25)
>>> y = x*15+20+np.random.randn(len(x))*5	#randn生成正态分布噪声
>>> a,b = core.leastSquare(x,y)				
>>> plt.scatter(x,y)						#原始数据散点图
<matplotlib.collections.PathCollection object at 0x00000218DEBBEDC8>
>>> plt.plot(x,a*x+b)						#拟合直线
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x00000218E0314FC8>]
>>> plt.show()

得到

 

高阶多项式

和前面一样，约定

代码如下

#传入参数格式为np.array,n为阶数
def leastSquareMulti(x,y,n):
  X = [np.sum(x**i) for i in range(2*n+1)]
  Y = np.array([[np.sum(y*x**i)] for i in range(n+1)])
  S = np.array([X[i:i+n+1] for i in range(n+1)])
  return np.linalg.solve(S,Y)		#

经测试结果如下：

>>> x = np.arange(25)
>>> y = x**3+3*x**2+2*x+12
>>> import core
>>> core.leastSquareMulti(x,y,3)
array([[12.],		#此为常数项
     [ 2.],
     [ 3.],
     [ 1.]])

 

多自变量

对于样本

则相应地其误差方程组可表示为

 

指数函数

则其代码为

def expFit(x,y):
  y0 = y[0:-3]
  y1 = y[1:-2]
  y2 = y[2:-1]
  B,C = leastSquare(y2/y0,y1/y0)
  b1 = np.log((B-np.sqrt(B**2+4*C))/2)
  b2 = np.log((B+np.sqrt(B**2+4*C))/2)
  X = np.exp(b1-b2)*x
  Y = y/np.exp(b2*x)
  a1,a2 = leastSquare(X,Y)
  return a1,a2,b1,b2

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原文链接：https://blog.csdn.net/m0_37816922/article/details/97161484