定义
在计算机科学中，B树（英语：B-tree）是一种自平衡的树，能够保持数据有序。这种数据结构能够让查找数据、顺序访问、插入数据及删除的动作，都在对数时间内完成。
为什么要引入B树?
首先，包括前面我们介绍的红黑树是将输入存入内存的一种内部查找树。
而B树是前面平衡树算法的扩展，它支持保存在磁盘或者网络上的符号表进行外部查找，这些文件可能比我们以前考虑的输入要大的多（难以存入内存）。
既然内容保存在磁盘中，那么自然会因为树的深度过大而造成磁盘I/O读写过于频繁（磁盘读写速率是有限制的），进而导致查询效率低下。
那么降低树的深度自然很重要了。因此，我们引入了B树，多路查找树。
特点
树中每个结点最多含有m个孩子（m>=2）；
除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；
若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；
所有叶子结点都出现在同一层(最底层)，叶子结点为外部结点，保存内容，即key和value。
其他结点为内部结点，保存索引，即key和next。
内部结点的关键字key：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
内容结点的指针next：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
例如：（M=3）
查找和插入
为了方便这里用了一个特殊的哨兵键，它小于其他所有键，用*表示。
一开始B树只含有一个根结点，而根结点在初始化时仅含有该哨兵键。
内部结点中的每个键都与一个结点相关联，以此结点为根的子树种，所有的键都大于等于与此结点关联的键，但小于其他所有键。
这些约定在很大程度上能够简化代码。
代码
点击下载。
该代码实现引入了哨兵键，代码输出则剔除了它。
代码里含有哨兵键的B树（将图片保存到本地查看，字会清晰些）：
代码输出的B树（将图片保存到本地查看，字会清晰些）：
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public class BTree<Key extends Comparable<Key>, Value> { // max children per B-tree node = M-1 // (must be even and greater than 2) private static final int M = 4; private Node root; // root of the B-tree private int height; // height of the B-tree private int n; // number of key-value pairs in the B-tree // helper B-tree node data type private static final class Node { private int m; // number of children private Entry[] children = new Entry[M]; // the array of children // create a node with k children private Node(int k) { m = k; } } // internal nodes: only use key and next // external nodes: only use key and value private static class Entry { private Comparable key; private Object val; private Node next; // helper field to iterate over array entries public Entry(Comparable key, Object val, Node next) { this.key = key; this.val = val; this.next = next; } } /** * Initializes an empty B-tree. */ public BTree() { root = new Node(0); } /** * Returns true if this symbol table is empty. * @return {@code true} if this symbol table is empty; {@code false} otherwise */ public boolean isEmpty() { return size() == 0; } /** * Returns the number of key-value pairs in this symbol table. * @return the number of key-value pairs in this symbol table */ public int size() { return n; } /** * Returns the height of this B-tree (for debugging). * * @return the height of this B-tree */ public int height() { return height; } /** * Returns the value associated with the given key. * * @param key the key * @return the value associated with the given key if the key is in the symbol table * and {@code null} if the key is not in the symbol table * @throws NullPointerException if {@code key} is {@code null} */ public Value get(Key key) { if (key == null) { throw new NullPointerException("key must not be null"); } return search(root, key, height); } @SuppressWarnings("unchecked") private Value search(Node x, Key key, int ht) { Entry[] children = x.children; // external node到最底层叶子结点，遍历 if (ht == 0) { for (int j = 0; j < x.m; j++) { if (eq(key, children[j].key)) { return (Value) children[j].val; } } } // internal node递归查找next地址 else { for (int j = 0; j < x.m; j++) { if (j+1 == x.m || less(key, children[j+1].key)) { return search(children[j].next, key, ht-1); } } } return null; } /** * Inserts the key-value pair into the symbol table, overwriting the old value * with the new value if the key is already in the symbol table. * If the value is {@code null}, this effectively deletes the key from the symbol table. * * @param key the key * @param val the value * @throws NullPointerException if {@code key} is {@code null} */ public void put(Key key, Value val) { if (key == null) { throw new NullPointerException("key must not be null"); } Node u = insert(root, key, val, height); //分裂后生成的右结点 n++; if (u == null) { return; } // need to split root重组root Node t = new Node(2); t.children[0] = new Entry(root.children[0].key, null, root); t.children[1] = new Entry(u.children[0].key, null, u); root = t; height++; } private Node insert(Node h, Key key, Value val, int ht) { int j; Entry t = new Entry(key, val, null); // external node外部结点，也是叶子结点，在树的最底层，存的是内容value if (ht == 0) { for (j = 0; j < h.m; j++) { if (less(key, h.children[j].key)) { break; } } } // internal node内部结点，存的是next地址 else { for (j = 0; j < h.m; j++) { if ((j+1 == h.m) || less(key, h.children[j+1].key)) { Node u = insert(h.children[j++].next, key, val, ht-1); if (u == null) { return null; } t.key = u.children[0].key; t.next = u; break; } } } for (int i = h.m; i > j; i--) { h.children[i] = h.children[i-1]; } h.children[j] = t; h.m++; if (h.m < M) { return null; } else { //分裂结点 return split(h); } } // split node in half private Node split(Node h) { Node t = new Node(M/2); h.m = M/2; for (int j = 0; j < M/2; j++) { t.children[j] = h.children[M/2+j]; } return t; } /** * Returns a string representation of this B-tree (for debugging). * * @return a string representation of this B-tree. */ public String toString() { return toString(root, height, "") + "\n"; } private String toString(Node h, int ht, String indent) { StringBuilder s = new StringBuilder(); Entry[] children = h.children; if (ht == 0) { for (int j = 0; j < h.m; j++) { s.append(indent + children[j].key + " " + children[j].val + "\n"); } } else { for (int j = 0; j < h.m; j++) { if (j > 0) { s.append(indent + "(" + children[j].key + ")\n"); } s.append(toString(children[j].next, ht-1, indent + " ")); } } return s.toString(); } // comparison functions - make Comparable instead of Key to avoid casts private boolean less(Comparable k1, Comparable k2) { return k1.compareTo(k2) < 0; } private boolean eq(Comparable k1, Comparable k2) { return k1.compareTo(k2) == 0; } /** * Unit tests the {@code BTree} data type. * * @param args the command-line arguments */ public static void main(String[] args) { BTree<String, String> st = new BTree<String, String>(); st.put("www.cs.princeton.edu", "128.112.136.12"); st.put("www.cs.princeton.edu", "128.112.136.11"); st.put("www.princeton.edu", "128.112.128.15"); st.put("www.yale.edu", "130.132.143.21"); st.put("www.simpsons.com", "209.052.165.60"); 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