问题
输入一个字符串，打印出该字符串中字符的所有排列。例如输入字符串abc，则输出由字符a，b，c所能排列出来的所有字符串abc，acb，bac，bca，cab和cba
思路
这是典型的递归求解问题，递归算法有四个特性：
- 必须有可达到的终止条件，否则程序陷入死循环
- 子问题在规模上比原问题小
- 子问题可通过再次递归调用求解
- 子问题的解应能组合成整个问题的解
对于字符串的排列问题：
如果能生成n-1个元素的全排列，就能生成n个元素的全排列。对于只有一个元素的集合，可以直接生成全排列。所以全排列的递归终止条件很明确，只有一个元素时。我们可以分析一下全排列的过程：
- 首先，我们固定第一个字符a，求后面两个字符bc的排列
- 当两个字符bc排列求好之后，我们把第一个字符a和后面的b交换，得到bac，接着我们固定第一个字符b，求后面两个字符ac的排列
- 现在是把c放在第一个位置的时候了，但是记住前面我们已经把原先的第一个字符a和后面的b做了交换，为了保证这次c仍是和原先处在第一个位置的a交换，我们在拿c和第一个字符交换之前，先要把b和a交换回来。在交换b和a之后，再拿c和处于第一位置的a进行交换，得到cba。我们再次固定第一个字符c，求后面两个字符b、a的排列
- 既然我们已经知道怎么求三个字符的排列，那么固定第一个字符之后求后面两个字符的排列，就是典型的递归思路了
下面这张图很清楚的给出了递归的过程：
基本解决方法
方法1：依次从字符串中取出一个字符作为最终排列的第一个字符，对剩余字符组成的字符串生成全排列，最终结果为取出的字符和剩余子串全排列的组合。
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#include <iostream>#include <string>using namespace std; void permute1(string prefix, string str){ if(str.length() == 0) cout << prefix << endl; else { for(int i = 0; i < str.length(); i++) permute1(prefix+str[i], str.substr(0,i)+str.substr(i+1,str.length())); }} void permute1(string s){ permute1("",s);} int main(){ //method1, unable to remove duplicate permutations. cout << "method1" << endl; permute1("ABA");} |
优点：该方法易于理解，但无法移除重复的排列，如：s="ABA"，会生成两个“AAB”。
方法2：利用交换的思想，具体见实例，但该方法不如方法1容易理解。
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#include <iostream>#include <string>#include <cstdio>using namespace std; void swap(char* x, char* y){ char tmp; tmp = *x; *x = *y; *y = tmp;} /* Function to print permutations of string This function takes three parameters: 1. String 2. Starting index of the string 3. Ending index of the string. */void permute(char *a, int i, int n){ int j; if (i == n) printf("%s\n", a); else { for (j = i; j <= n; j++) { if(a[i] == a[j] && j != i) //为避免生成重复排列，当不同位置的字符相同时不再交换 continue; swap((a+i), (a+j)); permute(a, i+1, n); swap((a+i), (a+j)); //backtrack } }} int main(){ //method2 cout << "method2" << endl; char a[] = "ABA"; permute(a,0,2); return 0;} |
两种方法的生成结果：
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method1ABAAABBAABAAAABABAmethod2ABAAABBAA |
下面来看ACM题目实例
示例题目
题目描述
题目描述：
给定一个由不同的小写字母组成的字符串，输出这个字符串的所有全排列。
我们假设对于小写字母有'a' < 'b' < ... < 'y' < 'z'，而且给定的字符串中的字母已经按照从小到大的顺序排列。
输入：
输入只有一行，是一个由不同的小写字母组成的字符串，已知字符串的长度在1到6之间。
输出：
输出这个字符串的所有排列方式，每行一个排列。要求字母序比较小的排列在前面。字母序如下定义：
已知S = s1s2...sk , T = t1t2...tk，则S < T 等价于，存在p (1 <= p <= k)，使得
s1 = t1, s2 = t2, ..., sp - 1 = tp - 1, sp < tp成立。
样例输入：
abc
样例输出：
abc
acb
bac
bca
cab
cba
提示：
每组样例输出结束后要再输出一个回车。
ac代码
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#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> struct seq { char str[7]; }; struct seq seqs[721]; int count; void swap(char *str, int a, int b) { char temp; temp = str[a]; str[a] = str[b]; str[b] = temp; } void permutation_process(char *name, int begin, int end) { int k; if (begin == end - 1) { strcpy(seqs[count].str, name); count ++; }else { for (k = begin; k < end; k ++) { swap(name, k, begin); permutation_process(name, begin + 1, end); swap(name, k, begin); } } } int compare(const void *p, const void *q) { const char *a = p; const char *b = q; return strcmp(a, b); } int main() { char name[7]; int i, len; while (scanf("%s", name) != EOF) { count = 0; len = strlen(name); permutation_process(name, 0, len); qsort(seqs, count, sizeof(seqs[0]), compare); for (i = 0; i < count; i ++) { printf("%s\n", seqs[i].str); } printf("\n"); } return 0; } |
/**************************************************************
Problem: 1120
User: wangzhengyi
Language: C
Result: Accepted
Time:710 ms
Memory:920 kb
****************************************************************/
去掉重复的全排列
上述代码有个缺陷，就是会造成重复数据的输出，例如abb这种字符串，上述程序跑完结果如图：
由于全排列就是从第一个数字起，每个数分别与它后面的数字交换，我们先尝试加个这样的判断——如果一个数与后面的数字相同那么这两个数就不交换了。例如abb，第一个数与后面两个数交换得bab，bba。然后abb中第二个数和第三个数相同，就不用交换了。但是对bab，第二个数和第三个数不同，则需要交换，得到bba。由于这里的bba和开始第一个数与第三个数交换的结果相同了，因此这个方法不行。
换种思维，对abb，第一个数a与第二个数b交换得到bab，然后考虑第一个数与第三个数交换，此时由于第三个数等于第二个数，所以第一个数就不再用与第三个数交换了。再考虑bab，它的第二个数与第三个数交换可以解决bba。此时全排列生成完毕！
这样，我们得到在全排列中去掉重复的规则：
去重的全排列就是从第一个数字起，每个数分别与它后面非重复出现的数字交换。
贴出上面ac代码的去重版本：
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#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> struct seq { char str[7]; }; struct seq seqs[721]; int count; int is_swap(char *str, int begin, int k) { int i, flag; for (i = begin, flag = 1; i < k; i ++) { if (str[i] == str[k]) { flag = 0; break; } } return flag; } void swap(char *str, int a, int b) { char temp; temp = str[a]; str[a] = str[b]; str[b] = temp; } void permutation_process(char *name, int begin, int end) { int k; if (begin == end - 1) { strcpy(seqs[count].str, name); count ++; }else { for (k = begin; k < end; k ++) { if (is_swap(name, begin, k)) { swap(name, k, begin); permutation_process(name, begin + 1, end); swap(name, k, begin); } } } } int compare(const void *p, const void *q) { const char *a = p; const char *b = q; return strcmp(a, b); } int main() { char name[7]; int i, len; while (scanf("%s", name) != EOF) { count = 0; len = strlen(name); permutation_process(name, 0, len); qsort(seqs, count, sizeof(seqs[0]), compare); for (i = 0; i < count; i ++) { printf("%s\n", seqs[i].str); } printf("\n"); } return 0; } |
