约瑟夫环问题
N个人围成一圈顺序编号，从1号开始按1、2、3......顺序报数，报p者退出圈外，其余的人再从1、2、3开始报数，报p的人再退出圈外，以此类推。
请按退出顺序输出每个退出人的原序号
算法思想
用数学归纳法递推。
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，若nm非常大，无法在短时间内计算出结果。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况——这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
实现方法
一、循环链表
建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并计数，如果基数i == m，则踢出该元素，继续循环，直到当前元素与下一个元素相同时退出循环
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#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> typedef struct lnode { int pos; struct lnode *next; } lnode; /** * 构建循环链表&&循环遍历 */ void create_ring(lnode **root, int loc, int n) { lnode *pre, *current, *new; current = *root; pre = NULL; while (current != NULL) { pre = current; current = current->next; } new = (lnode *)malloc(sizeof(lnode)); new->pos = loc; new->next = current; if (pre == NULL) { *root = new; } else { pre->next = new; } // 循环链表 if (loc == n) { new->next = *root; } } /** * 约瑟夫环 */ void kickoff_ring(lnode *head, int p) { int i; lnode *pre, *pcur; pre = pcur = head; while (pcur->next != pcur) { for (i = 1; i < p; i ++) { pre = pcur; pcur = pcur->next; } printf("%d ", pcur->pos); pre->next = pcur->next; free(pcur); pcur = pre->next; } printf("%d\n", pcur->pos); free(pcur); } void print_ring(lnode *head) { lnode *cur; cur = head; while (cur->next != head) { printf("%d ", cur->pos); cur = cur->next; } printf("%d\n", cur->pos); } int main() { int i, p, n; lnode *head; while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) { // 构建循环链表 for (i = 1, head = NULL; i <= n; i ++) create_ring(&head, i, n); // 约瑟夫环 if (p != 1) kickoff_ring(head, p); else print_ring(head); } return 0; } |
/**************************************************************
Problem: 1188
User: wangzhengyi
Language: C
Result: Accepted
Time:110 ms
Memory:912 kb
****************************************************************/
二、数组模拟
思想跟循环链表类似，少了构建循环链表的过程
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#include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main() { int i, index, p, n, remain, delete[3001], flag[3001] = {0}; while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) { remain = n; index = 0; while (remain >= 1) { for (i = 0; i < n; i ++) { if (flag[i] == 0) { // 报数 index ++; // 报p者退出圈外 if (index == p) { // 退出圈外 flag[i] = 1; // 重新报数 index = 0; delete[remain - 1] = i + 1; remain --; } } } } // 输出每个退出人的序号 for (i = n - 1; i >= 0; i --) { if (i == 0) { printf("%d\n", delete[i]); } else { printf("%d ", delete[i]); } } } return 0; } |
三、数学推导
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#include <stdio.h> int main(void) { int i, n, m, last; while (scanf("%d", &n) != EOF && n != 0) { // 接收报数 scanf("%d", &m); // 约瑟夫环问题 for (i = 2, last = 0; i <= n; i ++) { last = (last + m) % i; } printf("%d\n", last + 1); } return 0; } |
