k近邻算法的介绍
k近邻算法是一种基本的分类和回归方法，这里只实现分类的k近邻算法。
k近邻算法的输入为实例的特征向量，对应特征空间的点；输出为实例的类别，可以取多类。
k近邻算法不具有显式的学习过程，实际上k近邻算法是利用训练数据集对特征向量空间进行划分。将划分的空间模型作为其分类模型。
k近邻算法的三要素
- k值的选择：即分类决策时选择k个最近邻实例；
- 距离度量：即预测实例点和训练实例点间的距离，一般使用L2距离即欧氏距离；
- 分类决策规则。
下面对三要素进行一下说明：
1.欧氏距离即欧几里得距离，高中数学中用来计算点和点间的距离公式；
2.k值选择：k值选择会对k近邻法结果产生重大影响，如果选择较小的k值，相当于在较小的邻域中训练实例进行预测，这样有点是“近似误差”会减小，即只与输入实例较近（相似）的训练实例才会起作用，缺点是“估计误差”会增大，即对近邻的实例点很敏感。而k值过大则相反。实际中取较小的k值通过交叉验证的方法取最优k值。
3.k近邻法的分类决策规则往往采用多数表决的方式，这等价于“经验风险最小化”。
k近邻算法的实现：kd树
实现k近邻法是要考虑的主要问题是如何退训练数据进行快速的k近邻搜索，当训练实例数很大是显然通过一般的线性搜索方式效率低下，因此为了提高搜索效率，需要构造特殊的数据结构对训练实例进行存储。kd树就是一种不错的数据结构，可以大大提高搜索效率。
本质商kd树是对k维空间的一个划分，构造kd树相当与使用垂直于坐标轴的超平面将k维空间进行切分，构造一系列的超矩形，kd树的每一个结点对应一个这样的超矩形。
kd树本质上是一棵二叉树，当通过一定规则构造是他是平衡的。
下面是过早kd树的算法：
- 开始：构造根结点，根节点对应包含所有训练实例的k为空间。 选择第1维为坐标轴，以所有训练实例的第一维数据的中位数为切分点，将根结点对应的超矩形切分为两个子区域。由根结点生成深度为1的左右子结点，左结点对应第一维坐标小于切分点的子区域，右子结点对应第一位坐标大于切分点的子区域。
- 重复：对深度为j的结点选择第l维为切分坐标轴，l=j(modk)+1,以该区域中所有训练实例的第l维的中位数为切分点，重复第一步。
- 直到两个子区域没有实例存在时停止。形成kd树。
以下是kd树的python实现
准备工作
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#读取数据准备def file2matrix(filename): fr = open(filename) returnMat = [] #样本数据矩阵 for line in fr.readlines(): line = line.strip().split('\t') returnMat.append([float(line[0]),float(line[1]),float(line[2]),float(line[3])]) return returnMat #将数据归一化，避免数据各维度间的差异过大def autoNorm(data): #将data数据和类别拆分 data,label = np.split(data,[3],axis=1) minVals = data.min(0) #data各列的最大值 maxVals = data.max(0) #data各列的最小值 ranges = maxVals - minVals normDataSet = np.zeros(np.shape(data)) m = data.shape[0] #tile函数将变量内容复制成输入矩阵同样大小的矩阵 normDataSet = data - np.tile(minVals,(m,1)) normDataSet = normDataSet/np.tile(ranges,(m,1)) #拼接 normDataSet = np.hstack((normDataSet,label)) return normDataSet |
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//数据实例40920 8.326976 0.953952 314488 7.153469 1.673904 226052 1.441871 0.805124 175136 13.147394 0.428964 138344 1.669788 0.134296 172993 10.141740 1.032955 135948 6.830792 1.213192 342666 13.276369 0.543880 367497 8.631577 0.749278 135483 12.273169 1.508053 3//每一行是一个数据实例，前三维是数据值，第四维是类别标记 |
树结构定义
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#构建kdTree将特征空间划分class kd_tree: """ 定义结点 value:节点值 dimension：当前划分的维数 left:左子树 right:右子树 """ def __init__(self, value): self.value = value self.dimension = None #记录划分的维数 self.left = None self.right = None def setValue(self, value): self.value = value #类似Java的toString()方法 def __str__(self): return str(self.value) |
kd树构造
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def creat_kdTree(dataIn, k, root, deep): """ data:要划分的特征空间（即数据集） k:表示要选择k个近邻 root:树的根结点 deep:结点的深度 """ #选择x(l)(即为第l个特征)为坐标轴进行划分，找到x(l)的中位数进行划分# x_L = data[:,deep%k] #这里选取第L个特征的所有数据组成一个列表 #获取特征值中位数，这里是难点如果numpy没有提供的话 if(dataIn.shape[0]>0): #如果该区域还有实例数据就继续 dataIn = dataIn[dataIn[:,int(deep%k)].argsort()] #numpy的array按照某列进行排序 data1 = None; data2 = None #拿取根据xL排序的中位数的数据作为该子树根结点的value if(dataIn.shape[0]%2 == 0): #该数据集有偶数个数据 mid = int(dataIn.shape[0]/2) root = kd_tree(dataIn[mid,:]) root.dimension = deep%k dataIn = np.delete(dataIn,mid, axis = 0) data1,data2 = np.split(dataIn,[mid], axis=0) #mid行元素分到data2中，删除放到根结点中 elif(dataIn.shape[0]%2 == 1): mid = int((dataIn.shape[0]+1)/2 - 1) #这里出现递归溢出，当shape为(1,4)时出现，原因是np.delete时没有赋值给dataIn root = kd_tree(dataIn[mid,:]) root.dimension = deep%k dataIn = np.delete(dataIn,mid, axis = 0) data1,data2 = np.split(dataIn,[mid], axis=0) #mid行元素分到data1中，删除放到根结点中 #深度加一 deep+=1 #递归构造子树 #这里犯了严重错误，递归调用是将root传递进去，造成程序混乱，应该给None root.left = creat_kdTree(data1, k, None, deep) root.right = creat_kdTree(data2, k, None, deep) return root |
前序遍历测试
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#前序遍历kd树def preorder(kd_tree,i): print(str(kd_tree.value)+" :"+str(kd_tree.dimension)+":"+str(i)) if kd_tree.left != None: preorder(kd_tree.left,i+1) if kd_tree.right != None: preorder(kd_tree.right,i+1) |
kd树的最近邻搜索
最近邻搜索算法，k近邻搜索在此基础上实现
原理：首先找到包含目标点的叶节点；然后从该也结点出发，一次退回到父节点，不断查找与目标点最近的结点，当确定不可能存在更近的结点是停止。
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def findClosest(kdNode,closestPoint,x,minDis,i=0): """ 这里存在一个问题，当传递普通的不可变对象minDis时，递归退回第一次找到 最端距离前，minDis改变，最后结果混乱，这里传递一个可变对象进来。 kdNode:是构造好的kd树。 closestPoint：是存储最近点的可变对象，这里是array x：是要预测的实例 minDis：是当前最近距离。 """ if kdNode == None: return #计算欧氏距离 curDis = (sum((kdNode.value[0:3]-x[0:3])**2))**0.5 if minDis[0] < 0 or curDis < minDis[0] : i+=1 minDis[0] = curDis closestPoint[0] = kdNode.value[0] closestPoint[1] = kdNode.value[1] closestPoint[2] = kdNode.value[2] closestPoint[3] = kdNode.value[3] print(str(closestPoint)+" : "+str(i)+" : "+str(minDis)) #递归查找叶节点 if kdNode.value[kdNode.dimension] >= x[kdNode.dimension]: findClosest(kdNode.left,closestPoint,x,minDis,i) else: findClosest(kdNode.right, closestPoint, x, minDis,i) #计算测试点和分隔超平面的距离，如果相交进入另一个叶节点重复 rang = abs(x[kdNode.dimension] - kdNode.value[kdNode.dimension]) if rang > minDis[0] : return if kdNode.value[kdNode.dimension] >= x[kdNode.dimension]: findClosest(kdNode.right,closestPoint,x,minDis,i) else: findClosest(kdNode.left, closestPoint, x, minDis,i) |
测试：
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data = file2matrix("datingTestSet2.txt")data = np.array(data)normDataSet = autoNorm(data)sys.setrecursionlimit(10000) #设置递归深度为10000trainSet,testSet = np.split(normDataSet,[900],axis=0) kdTree = creat_kdTree(trainSet, 3, None, 0)newData = testSet[1,0:3]closestPoint = np.zeros(4)minDis = np.array([-1.0])findClosest(kdTree, closestPoint, newData, minDis)print(closestPoint)print(testSet[1,:])print(minDis) |
测试结果
[0.35118819 0.43961918 0.67110669 3. ] : 1 : [0.40348346]
[0.11482037 0.13448927 0.48293309 2. ] : 2 : [0.30404792]
[0.12227055 0.07902201 0.57826697 2. ] : 3 : [0.22272422]
[0.0645755 0.10845299 0.83274698 2. ] : 4 : [0.07066192]
[0.10020488 0.15196271 0.76225551 2. ] : 5 : [0.02546591]
[0.10020488 0.15196271 0.76225551 2. ]
[0.08959933 0.15442555 0.78527657 2. ]
[0.02546591]
k近邻搜索实现
在最近邻的基础上进行改进得到：
这里的closestPoint和minDis合并，一同处理
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#k近邻搜索def findKNode(kdNode, closestPoints, x, k): """ k近邻搜索，kdNode是要搜索的kd树 closestPoints:是要搜索的k近邻点集合,将minDis放入closestPoints最后一列合并 x：预测实例 minDis：是最近距离 k:是选择k个近邻 """ if kdNode == None: return #计算欧式距离 curDis = (sum((kdNode.value[0:3]-x[0:3])**2))**0.5 #将closestPoints按照minDis列排序,这里存在一个问题，排序后返回一个新对象 #不能将其直接赋值给closestPoints tempPoints = closestPoints[closestPoints[:,4].argsort()] for i in range(k): closestPoints[i] = tempPoints[i] #每次取最后一行元素操作 if closestPoints[k-1][4] >=10000 or closestPoints[k-1][4] > curDis: closestPoints[k-1][4] = curDis closestPoints[k-1,0:4] = kdNode.value #递归搜索叶结点 if kdNode.value[kdNode.dimension] >= x[kdNode.dimension]: findKNode(kdNode.left, closestPoints, x, k) else: findKNode(kdNode.right, closestPoints, x, k) #计算测试点和分隔超平面的距离，如果相交进入另一个叶节点重复 rang = abs(x[kdNode.dimension] - kdNode.value[kdNode.dimension]) if rang > closestPoints[k-1][4]: return if kdNode.value[kdNode.dimension] >= x[kdNode.dimension]: findKNode(kdNode.right, closestPoints, x, k) else: findKNode(kdNode.left, closestPoints, x, k) |
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data = file2matrix("datingTestSet2.txt")data = np.array(data)normDataSet = autoNorm(data)sys.setrecursionlimit(10000) #设置递归深度为10000trainSet,testSet = np.split(normDataSet,[900],axis=0) kdTree = creat_kdTree(trainSet, 3, None, 0)newData = testSet[1,0:3]print("预测实例点："+str(newData))closestPoints = np.zeros((3,5)) #初始化参数closestPoints[:,4] = 10000.0 #给minDis列赋值findKNode(kdTree, closestPoints, newData, 3)print("k近邻结果："+str(closestPoints)) |
测试结果
预测实例点：[0.08959933 0.15442555 0.78527657]
k近邻结果：[[0.10020488 0.15196271 0.76225551 2. 0.02546591]
[0.10664709 0.13172159 0.83777837 2. 0.05968697]
[0.09616206 0.20475001 0.75047289 2. 0.06153793]]
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