用Python实现最速下降法求极值的方法

对于一个多元函数，用最速下降法（又称梯度下降法）求其极小值的迭代格式为

其中为负梯度方向，即最速下降方向，αkαk为搜索步长。

一般情况下，最优步长αkαk的确定要用到线性搜索技术，比如精确线性搜索，但是更常用的是不精确线性搜索，主要是Goldstein不精确线性搜索和Wolfe法线性搜索。

为了调用的方便，编写一个Python文件，里面存放线性搜索的子函数，命名为linesearch.py，这里先只编写了Goldstein线性搜索的函数，关于Goldstein原则，可以参看最优化课本。

线性搜索的代码如下（使用版本为Python3.3）：

1. '''
2. 线性搜索子函数
3. '''
4.  
5. import numpy as np
6. import random
7.  
8. def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):
9.  
10. flag=0
11.  
12. a=0
13. b=alpham
14. fk=f(x)
15. gk=df(x)
16.  
17. phi0=fk
18. dphi0=np.dot(gk,d)
19.  
20. alpha=b*random.uniform(0,1)
21.  
22. while(flag==0):
23. newfk=f(x+alpha*d)
24. phi=newfk
25. if(phi-phi0<=rho*alpha*dphi0):
26. if(phi-phi0>=(1-rho)*alpha*dphi0):
27. flag=1
28. else:
29. a=alpha
30. b=b
31. if(b<alpham):
32. alpha=(a+b)/2
33. else:
34. alpha=t*alpha
35. else:
36. a=a
37. b=alpha
38. alpha=(a+b)/2
39. return alpha

上述函数的输入参数主要包括一个多元函数f，其导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d，返回值是根据Goldstein准则确定的搜索步长。

我们仍以Rosenbrock函数为例，即有

于是可得函数的梯度为

最速下降法的代码如下：

1. """
2. 最速下降法
3. Rosenbrock函数
4. 函数 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2
5. 梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)
6. """
7.  
8. import numpy as np
9. import matplotlib.pyplot as plt
10. import random
11. import linesearch
12. from linesearch import goldsteinsearch
13.  
14. def rosenbrock(x):
15. return 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2
16.  
17. def jacobian(x):
18. return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])
19.  
20. X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
21. X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
22. [x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
23. f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 给定的函数
24. plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线
25.  
26. def steepest(x0):
27.  
28. print('初始点为:')
29. print(x0,'\n')
30. imax = 20000
31. W=np.zeros((2,imax))
32. W[:,0] = x0
33. i = 1
34. x = x0
35. grad = jacobian(x)
36. delta = sum(grad**2) # 初始误差
37.  
38. while i<imax and delta>10**(-5):
39. p = -jacobian(x)
40. x0=x
41. alpha = goldsteinsearch(rosenbrock,jacobian,p,x,1,0.1,2)
42. x = x + alpha*p
43. W[:,i] = x
44. grad = jacobian(x)
45. delta = sum(grad**2)
46. i=i+1
47.  
48. print("迭代次数为:",i)
49. print("近似最优解为:")
50. print(x,'\n')
51. W=W[:,0:i] # 记录迭代点
52. return W
53.  
54. x0 = np.array([-1.2,1])
55. W=steepest(x0)
56.  
57. plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹
58. plt.show()

为了实现不同文件中函数的调用，我们先用import函数导入了线性搜索的子函数，也就是下面的2行代码

1. import linesearch
2. from linesearch import goldsteinsearch

当然，如果把定义goldsteinsearch函数的代码直接放到程序里面，就不需要这么麻烦了，但是那样的话，不仅会使程序显得很长，而且不便于goldsteinsearch函数的重用。

此外，Python对函数式编程也支持的很好，在定义goldsteinsearch函数时，可以允许抽象的函数f，df作为其输入参数，只要在调用时实例化就可以了。与Matlab不同的是，传递函数作为参数时，Python是不需要使用@将其变为函数句柄的。

运行结果为

1. 初始点为:
2.  
3. [-1.2 1. ]
4.  
5. 迭代次数为: 1504
6.  
7. 近似最优解为:
8.  
9. [ 1.00318532 1.00639618]
10.  
11. 迭代点的轨迹为

由于在线性搜索子程序中使用了随机函数，初始搜索点是随机产生的，因此每次运行的结果不太相同，比如再运行一次程序，得到

1. 初始点为:
2. [-1.2 1. ]
3.  
4. 迭代次数为: 1994
5.  
6. 近似最优解为:
7. [ 0.99735222 0.99469882]

所得图像为

以上这篇用Python实现最速下降法求极值的方法就是小编分享给大家的全部内容了，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持服务器之家。

原文链接：https://blog.csdn.net/u012705410/article/details/47254437